浅析换元法

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换元法是一种变量代换，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，从而使问题得到简化，换元的实质是一种化繁为简，化难为易的数学转化思想的具体体现，可以达到熔化难点，加快解题速度，事半功倍之效。下面作简要归纳。

一、三角代换

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

例1：求函数y=x+■的值域。

分析：首先求出函数的定义域，1-x2≥0?圯|x|≤1，可以进行三角换元，通过换元把代数问题，转化为三角问题，便求出函数的值域来。

解：1-x2≥0?圯|x|≤1，所以可设θ∈［-■，■］，原式变为y=sinx+cosx=■sin（x+■），θ∈［-■，■］，-■≤x+■≤■。

所以-■≤sin（x+■）≤1?圯-1≤y≤■

点评：对于遇到|x|≤1的关系式可以想到三角换元，可设x=sinθ或x=cosθ，把代数问题转化三角函数来处理。

二、比值代换

例2：设xi，yi（i=1，2，…，n）都是正数，且■＞■＞…■。求证：■＞■＞■。

分析：如何根据条件变换出两个和式是证明此题的关键，考虑换元处理。

证明：令a+■＞■＞…■=b，因为xi，yi（i=1，2，…n）都是正数，所以可得ay1=x1，ay2＞x2，…，ayn＞xn，和x1＞by1，x2＞by2，…，xn=byn。将每组不等式两边分别相加得：

a（y1+y2+…+yn）＞x1+x2+…+xn，和x1+x2+…+xn＞b（y1+y2+…+yn）。

a=■＞■＞■=b。

点评：当已知条件是一组比值式时，可以引进新的变量即比值换元打开思路，使问题简化。根据已知条件，利用换元法将多个变量用一个变量来表示，以达到避繁就简的效果。

三、常数代换

例3：已知a+b+c=1，且a＞0，b＞0，c＞0，求证：■+■+■≥9。

证明：由已知a+b+c=1，则■+■+■=1×（■+■+■）

=（a+b+c）（■+■+■）≥3■・■=9

当且仅当a=b=c时取“=”号，即可得■+■+■≥9。

点评：换元法有时需要把常数用一个字母或代数式来表示，看似把问题复杂化了，其实代换后，离问题的解决只有一步之遥，本题利用了“1”代换。

四、整体换元

是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例4：求函数f（x）=■的值域。

分析：sinxcosx与sinx+cosx有着密切的联系，联想到整体换元。

解：令t=sinx+cosx=■sin（x+■）∈［-■，■］且t≠-1。则sinxcosx=■，f（x）=■=■・■=■（t-1），所以函数f（x）的值域是［-■，-1］∪（-1，■］。

点评：此法是代数换元，将复杂的三角问题转化为简单的代数问题，此题新元就有范围。和上题比较，有着异曲同工之妙。