带电粒子在磁场运动中的难点分析

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带电粒子在磁场中的运动是高考的一大热点。究其原因是因为能很好地考查学生分析问题和综合运用知识的能力，特别是能很强地考查运用数学知识解决物理问题的能力。但学生在处理这部分问题时，常遇到不少困难。下面就几个主要的难点方面进行分析。

1 圆心难找

无论是求解时间还是求解半径，往往需要先把圆心确定之后才能往下进行作图分析，运用相关物理知识和数学知识进行求解。比较简单的题目圆心很明确，稍难些的题目圆心就不容易确定。在明确磁场边界的情况下，往往可通过粒子进入和离开磁场时速度的垂线来定圆心。

例1 如图1所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度大小可变，方向垂直纸面向里的磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度大小为v0，方向跟ad边夹角α=30°的带电粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q,ad边长为L,ab足够长，重力忽略不计。求：

(1)粒子能从ab边射出所加的最小磁感应强度；

(2)这时粒子在磁场中运动的时间。

解析 当轨迹圆与cd边相切时，是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况，如图2所示。

作入射速度v0和在切点Q处直线cd的垂线，交于O′点如图3所示。过O点作v0的垂线，由题意知∠O O′Q=60°。设粒子运动的最大半径为R，则应有R=L。

由于O′Qcd，ab和cd间的距离为L，所以O′点落在直线ab上。正确示意图如图4所示。

2 边界难定

大量带电粒子从不同方向发射，穿过某一磁场区域或打到某一板上，如何确定边界点是又一难点。

粒子初速度方向不同，轨迹圆的圆心不同，但这些圆都经过S点。现在来作动态轨迹圆。

（1）以S为圆心，R=0.4m为半径作圆，得到动态轨迹圆的圆心轨迹。如图6中的T。

（2）再以T上各点为圆心，R为半径作出一系列的轨迹圆，如图6中的1、2、3、4、5、6。其中实线代表α粒子在磁场中的可能轨迹。通过所画出的动态圆不难发现α粒子从bb′侧出射时的最高点Q恰与磁场右边界相切的情形，如图6中的5。从bb′线上出射的最低点P为沿aa′方向射出的粒子，其轨迹圆恰好与磁场左边界aa′相切，如图6中的1。

设磁场右边界与S正对点为B。则粒子从磁场右边界bb′穿出的范围为图中PQ长度，如图7所示。

由S点和出射处P点找到的圆心设为O1，由S点和出射处Q点找到的圆心设为O2，则可由几何关系有：

点评 在画半径不变，圆心变动的动态圆时，首先明确以S为圆心，以粒子在磁场中运动的半径为半径画出动态圆圆心的轨迹；其次是注意选取几个点画动态圆，通过所画的动态圆能洞悉粒子打到板上的上、下或左、右最远点。注意分析最远点是否是直径的另一端和相切情形，有些题目最远点并不一定是直线的另一端。

迁移与创新

2．S为电子源，它只能在图8所示纸面上360°范围内发射速率相同、质量为m、电量为e的电子。MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为OS=L；挡板左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。若电子发射的速度为v=eBLm，则挡板被击中的范围多大?

3 情景模糊

若磁场未给出，粒子如何运动其情景比较模糊，粒子在磁场运动轨迹如何是需要进行仔细分析和推断的，这对许多同学来说又是一大难点。如何突破呢?

例1 (1994全国考题)如图9所示，一带电质点，质量为m、电量为q，以平行于x轴的速度v从y轴的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。

解析 质量为m、带电量为q的质点垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场，要受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动。设此圆半径为R，则有

根据题意，带电质点从a射入与从b射出的两个速度方向垂直，这表明质点在磁场中偏转了90°，即质点在磁场区域中的轨道应是半径为R的圆周的14圆弧。圆弧应于入射和出射方向相切。此段圆弧可用作图确定。

过a作与x轴平行的直线，过b作与y轴平行的直线，两直线的交点为O′，如图10所示。由切线定理可知，粒子入、出磁场的位置M、N到O′，点的距离必定相等。由于半径与速度方向垂直，可作出离子圆周运动的圆心O。则由此可画出过MN两点的圆弧MN。

要求的最小磁场区域应是以M、N两点为直径的圆。故所求的磁场区域的最小半径为

点评 通过上面的分析和解答可以看出问题的关键是确定出入两点的位置。分析中用到了切线定理，使得比较抽象的问题化为较为直观的情景。

迁移与创新

3．一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴的正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角30°，如图11所示。粒子的重力不计。试求：

(1)圆形磁场区域的最小面积；

(2)若粒子从O点就进入磁场区域，到达b点所经历的时间。

4 想象不出正确的立体情景

例4 如图12所示，一质量为m、电荷量为q的静止带电粒子，经电压U加速之后，射入与其运动方向一致的磁感应强度为B的匀强磁场中，在途中与一硬质薄塑料平板发生无动能损失的碰撞，碰后速度方向变为竖直向上，最后粒子运动到C板，已知平板与水平方向成45°角，AC=s，求粒子从A板运动到C板所用的时间。

析与解 对粒子在电场中加速的过程中，由动能定理有

粒子进入磁场后，由于速度v的方向平行于磁场方向，所以粒子做匀速直线运动，途中与塑料板发生碰撞，碰撞 后速度方向竖直向上，这样粒子将受到洛伦兹力作用，在垂直于磁场方向的平面内做匀速圆周运动，一周后又与塑料板的反面发生无能量损失的碰撞，碰后粒子沿B的方向做匀速直线运动到C板，如图13所示。故粒子从A板运动到C板的时间为

点评 许多同学搞不清粒子在磁场中作怎样的运动，因而无法对题目进行破解。如果能够根据粒子与板左侧碰后运动方向，从而确定受力方向和圆心位置，规范画出粒子跟板左侧碰后所作的圆周运动，此题便可迎刃而解。

迁移与创新

4．如图14所示，在A、B之间有2n块硬质塑料板(不导电，厚度不计)互成直角如图14所示。质量为m的质子从A板上的P点对着硬质板的中点水平射入A、B之间，初速度为v0，由于A、B间有水平向右的匀强磁场，使得质子最后都垂直从B穿出(所在碰撞均无机械能的损失)，为了满足要求，试求质子从A到B的运动时间。

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