“角”的认识:从“定义教学”到“概念教学”
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学生未上学时便已认识三角形、五角星等，所以，教师往往认为学生比较熟悉“角”，教学不存在难度。其实，学生常常把物体的尖部分当成“角”，可见，学生并未清楚地认识“角”及“角”的本质属性。在“角的初步认识”这一教学内容中，其难点在于让学生脱离实物中的角，在大脑中形成“角”的概念，认识到：“角”的大小与边的长短无关，“角”的大小由两条边张口的大小决定。在参与“变异理论”的研究讨论之后，我试图从建立概念的角度进行反思，重新设计教学内容，实现了从“定义教学”到“概念教学”的过渡。
一、实例入手，适时引入“角”的概念
以往，在帮助学生形成“角”的概念之前，我设计了这样的导入环节。
教师：今天老师要带大家认识一个朋友，跟老师去找找吧！（呈现图片中的角：钟面上时针和分针夹成的角；窗户上的横木条和竖木条夹成的角；剪刀张开的两个刀刃夹成的角；三角板的两条边组成的角）新朋友就在这些物体表面。这些新朋友离开了具体物体出现在我们面前，你们知道它们叫什么吗？
学生：角。
教师：对，就是“角”。今天这节数学课我们一起认识“角”……
在这一导入环节，教师希望把数学与生活相联系，最终脱离实物抽象出“角”的概念。其实，这种方式使学生难以真正“抽象”出“角”的概念。
重新思考后，我调整了导入环节，旨在通过少量实例，突出强调“角”的概念。
教师：说到“角”，同学们肯定不陌生。今天这堂课，老师要带领大家认识“角”的概念。（教师在黑板上画出一个标准的“角”）请同学们仔细观察，用自己的语言描述老师画“角”的动作。
学生（通过讨论和交流）：先画一个点，再从该点出发画出一条直直的线；还从这个点出发，再画出另一条直直的线。
在这一导入环节，教师通过具体、直观的实例，为学生搭建感性经验和抽象概念之间的桥梁，最终让学生建立“角”的概念。数学概念的本质是抽象的，因此，在教学过程中，应在适当阶段尽早脱离具体、直观的实例，以帮助学生更好地建立抽象的数学概念。
二、“正例”与“反例”互补，突破教学重、难点
“变异理论”认为，概念学习在本质上是对概念属性的辨认，而例子则是概念属性的具体化和形象化，对概念的学习具有重要的辅助作用。例子包括“正例”和“反例”两种。由于过去对“角”的教学缺乏足够重视，仅仅满足于简单生活实例的应用，后来，学生在对“角”的理解出现错误时，我开始认真反思。最终，我发现根本原因在于：学生没有在课堂上真正经历严格、严谨和严密的建立概念的过程。根据“变异理论”，要在学生头脑中建立清晰、牢固和深刻的概念，就需要有目的、有选择地使用“正例”“非标准正例”和“反例”。于是，我在教学设计中拓展了相关的教学内容，具体包括两点。
1.在判断中进一步认识“角”
以前，我习惯在黑板上画一个作为“正例”的“角”让学生观察，学生能凭直觉判断出这是角，但对于“角”这一概念的本质属性缺乏深刻的理解。后来，我增加了“非标准正例”与“反例”，引导学生进行比较并深入思考。
如图所示，图1、图2和图6是“正例”，图3、图4和图5是反例。
在教学中，例子学习是学生掌握复杂、抽象概念的关键。通过逐一仔细地观察、辨认和比较例子，学生在思考中抓住了角的本质：两条直直的边一头挨在一起形成顶点才是角；角与边的长短、方向无关。
2.在比较中理解“角”的大小
在教学中，教师可通过让学生动手操作（做活动角），使学生感悟“角”有大小，认识到“角”的大小与“角”两边叉开的程度有关。“角”的两边张口越大，“角”越大；“角”的两边张口越小，“角”越小。在实际操作中，学生自然发现这一规律。为了防止学生在“张口”这个关键点犯错，我增加了两组易使学生出现判断错误的例子，以强化学生对“张口”这一关键属性的辨识和比较，使学生真正掌握教学内容，最终突破本课的重点和难点。
如图所示，在图7、图8中，小的角两条边线长，大的角两条边线短。直观地看，直线末端的张口几乎相等。对这样的角，学生容易迷惑，认为两个角一样大。通过教师的引导，学生注意到张口的大小不应通过边线的末端进行判断，而要看顶点处。在图9、图10中，两个角的大小相同，但因为图9中角的边线短，图10中角的边线长，所以图10中角末端的张口明显地要比图9中角末端的张口大。于是，学生会误判图10中的角更大。
根据“变异理论”，不能孤立地理解任何事物，而应凭借事物在相互联系中存在相似性和差异性认识事物的特征。因此，“知识迁移”是差异性和共同性作用的结果。在图7、图8和图9、图10中，突出了两个角之间的相同与不同，排除了角的非本质属性（边的长短与角的大小无关），强化了角的本质属性（“角”的大小是由顶点处“张口”的大小决定）。
三、课后反思，“变异理论”促我进步
当前课堂教学中知识教学被“虚化”的现象是新课程改革的一大问题。知识的“虚化”直接表现为概念教学被淡化，即将科学、严谨的概念“矮化”为生活中的直接经验，严重降低了教学的质量。根据“变异理论”，学习概念即审辨概念的相关属性。只有学生体验了属性之间变与不变的特定类型，才能更好地审辨概念的相关属性，最终掌握概念。可见，“变异理论”为我们理解“正例”和“反例”在概念学习中的作用提供了独特视角，使我们不仅知道什么样的“正例”和“反例”有利于学生的概念学习，更知道为什么这样的“正例”和“反例”有利于学生的概念学习。
实践证明，“变异理论”在“角的初步认识”这一内容的教学过程中获得了卓有成效的运用，最终实现了从“定义教学”到“概念教学”的过渡。“变异理论”阐发的教学原理与教师在实际教学中获得的朴素经验相契合。通过课题学习和实践探索，我对“正例”“反例”及“知识迁移”在教学中的运用更加自觉且有条不紊，既有效总结教学经验，又巧妙提升理论认识。
（作者单位：北京市海淀区台头小学）