极坐标系导学

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在极坐标系的学习中，如何用极坐标表示平面中的点是重点，首先应当理解用极坐标刻画点的位置的基本思想. 下面举例说明.

例1

写出图1中各点的极坐标.

图1

分

析

极坐标系中的点在用坐标表示的时候极径ρ可正可负，而极角θ应与ρ的正负零相对应，并注意θ的周期性. 但在解题时ρ一般取非负值，θ的取值范围为［0，2π）．

解

图1中各点在极坐标系中的坐标为A3，π12，B4，5π12，C2，2π3，D5，7π6，E4，3π2，F2，11π6．

评

注

本题在解答时需要看清ρ的大小和θ，即不能数错. 另外在表示点的时候，以D为例，D点亦可表示为-5，2kπ+π6或5，2kπ-5π6（k∈Z）．

例2

在极坐标系里作出下列各点：A（3，0），B（6，2π），C3，π2，D5，5π3，E（3，-π），F（3，π），G6，-π3．

同步的卫星

科技的迅猛发展，使人类的视角投向太空. 为了实现全球通讯线路的畅通，需要发射三颗地球同步卫星. 在实际中，我们是用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、纬度和经度――极坐标系扩展到三维空间中，形成球坐标系. 球坐标系中的点P用坐标（r，θ，φ）表示，其中r是到球心的距离，θ是距离z轴的角度（称做余纬度或顶角，角度从0到π），φ是半平面xOz到半平面POz的角度（与极坐标系中一样）.

另一方面，与将直角坐标系扩展为三维的方法相似，圆柱坐标系是在二维极坐标系的基础上，增添了第三个用于测量高于平面的点的高度的坐标所形成的. 这第三个坐标通常表示为z，所以圆柱坐标表示为（ρ，θ，z）.

总之，坐标系的建立，解析法思想的应用，把“数”与“形”有机地结合了起来，使几何学的研究变得更加精确、深刻，开创了几何学研究的新篇章.

解 （1） 如图3所示，设Q的极坐标为（ρ′0，θ′0），由P，Q关于直线θ=π3对称，得OP=OQ，而且Q的极角θ′0满足θ′0+θ0=2kπ+π3，所以点Q的极坐标为ρ0，2kπ+2π3-θ0或-ρ0，2kπ-π3-θ0（k∈Z）．

（2） 由P，Q关于极点对称，得OP=OQ，它们的极角相差（2k+1）π（k∈Z）．

所以，点Q的极坐标为（ρ0，（2k+1）π+θ0）或（-ρ0，2kπ+θ0）（k∈Z）．

评

注

解本题时可借助点在直角坐标系中的对称关系进行类比，然后再结合极坐标的特点进行解题. 要留意的是ρ的正负. 另外在不作特别说明的情况下，求点的极坐标时只要写出它的一个极坐标.

例4

据气象台预报，在A市正东方300 km的B处有一台风中心形成，并以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响. 问：从现在起经过多长时间，台风将影响A市，持续时间多长？

分

析

不妨以点A为极点，正东方向为极轴建立极坐标系，然后表达出台风中心距点A的距离，要求此距离大于等于250 km.

解 建立如图4所示的极坐标系. 设经过t小时台风中心到达点C（如图4），并设点C的坐标为（ρ，θ）．

图4

在OBC中，OC2=OB2+BC2-2OB・BCcos45°，则有

ρ=3002+（40t）2-2×300×40tcos45°．

所以点C的极坐标为

（3002+（40t）2-2×300×40tcos45°，θ）．

根据题意，当ρ≤250时，A市受到台风的影响.

即有3002+（40t）2-2×300×40tcos45°≤250，解得2≤t≤8.6．

所以从现在起经过2小时，台风将影响A市，持续6.6小时.

评

注

用极坐标解实际问题时，需要理清题目需要求解的内容该如何表达. 对于例4，在处理的时候借助于余弦定理得到表达式.