全称性命题和存在性命题
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含有全称量词的命题称为全称性命题,含有存在量词的命题称为存在性命题。在方程与不等式中考查这两类命题一直是高考的重点,好多考生常常将两个命题混淆,感到难以把握.
一、 全称性命题
不等式中全称性命题实质就是不等式恒成立问题,此类问题一般设计独特,涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识,渗透着函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论、换元等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力和创新应用能力,因此备受命题者的青睐.应对此类问题除以下三种方法外,还有分类讨论法、单调性法和判别式法等.
【例1】 (2011年江苏省高考模拟题)对任意x∈12,2,使得x2-2x+a>0,求实数a的取值范围.
分析 解法一：由题意得：a>-x2+2x,设f(x)=-x2+2x,x∈12,2.可求出函数f(x)的最小值为1,则a>1.
解法二：由由题意得：a>-x2+2x,
设f(x)=-x2+2x,x∈12,2,
g(x)=a,直线g(x)=a横在抛物线f(x)=-x2+2x,x∈12,2的上方,则a>1.
解法三：设f(x)=x2-2x+a,x∈12,2,可求得函数f(x)的最小值为a-1,从而的a>1.
点评 本题实际上就是通过对我们的《课本》(苏教版选修21)第15页复习题例1(1)“判断下列命题x∈R,x2>x.真假”改编而来.对于不等式中全称性命题求解策略为：对有范围的谁成立,谁作为主元；
1. 方法：(1) 分离参数,转化为最值问题；(2) 直接转化为最值问题,构造不等式；(3) 数形结合思想；
2. f(x)≥a恒成立f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立f(x)max≤a
变式1 对任意x∈12,2,使得
x2-2x+a≤0,求实数a的取值范围.(a≤0)
变式2 函数f(x)=13x3-x2+ax+2在12,2上单调递减,求实数a的取值范围.(f′(x)=x2-2x+a≤0对任意x∈12,2恒成立,就是变式1)
变式3 对任意a∈12,2,使得
a2-2a+x>0,求实数x的取值范围.(变更主元,以a为主元,类似于例1,答案为x>1.)
【例2】 (07年安徽高考题)若对任意x∈R,不等式x≥ax 恒成立,则实数a的取值范围是．
分析 解法一：可采用数形结合法；解法二：为了分离参数a,不等式两边应同除以x,因而应按x>0;x
解 当x=0时,a•0≤0恒成立；
当x>0时,x≥ax,即a≤1；
当x
故a∈［-1,1］.
点评 当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时,应用分类讨论的方法来处理,分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为问题的解决提供新的条件.
【例3】 (自编题)若不等式ax2+ax+1>0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 ．
分析 此不等式是否为一元二次不等式,故先进行分类讨论；一元二次不等式对任意x∈R恒成立,可选择判别式法.
解 当a=0时,1>0显然对一切实数恒成立；
当a≠0时,要使不等式ax2+ax+1>0对一切实数恒成立,须有a>0,
Δ0,
a2-4a
点评 本题实际上就是根据我们的《课本》(苏教版必修5)第94页11(3)“若不等式f(x)>0的解集为R且f(x)=(m+1)x2-mx+m-1,则实数的取值范围是”改编而来.此类问题求解策略为：
①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立a=b=0,
c>0.或a>0,
Δ
②不等式ax2+bx+c
c
Δ
二、 存在性命题
【例4】 (连云港市高三调研考试题)x∈12,2,使得x2-2x+a>0,求实数a的取值范围.
分析 解法一：设f(x)=x2-2x+a,x∈12,2,可求得函数f(x)的最大值为a,由题意得a>0．
解法二：由条件知：x∈12,2,使得a>-x2+2x成立,
而f(x)=-x2+2x,x∈12,2的最小值为0.所以 a>0
解法三：转化为全称性命题求解．
“x∈12,2,使得x2-2x+a>0,”的否定为“x∈12,2,使得x2-2x+a≤0,”根据全称性命题求解策略得,满足后者a的取值范围为a≤0,在求其在实数集得补集,故所求a的取值范围为a>0
点评 一、 本题实际上就是通过对我们的《课本》(苏教版选修21)第15页复习题例1(3)“判断下列命题x∈Q,使得x2-8>0.真假”改编而来.
二、 对于不等式中存在性命题求解策略为：
1. 对有范围的谁成立,谁作为主元；
2. 方法：(1) 分离参数,转化为最值问题；(2) 直接转化为最值问题,构造不等式.(3) 先转化为全称性命题求解,再利用补集思想得到答案.
3. x∈A,使得f(x)≥a成立a≤f(x)max；
x∈A,使得f(x)≤a成立f(x)min≤a
数统治着宇宙。―毕达哥拉斯
牛刀小试
1. (2011年南通市联考题)已知x∈(1,2］时,不等式(x-1)2≤logax成立,则实数a的取值范围是．
2. (2011年连云港市联考题)对于满足-1≤a≤1的一切实数a,函数y=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于0 ,则实数x的取值范围是.
3. (2011年陕西高考题)若关于x的不等式｜a｜≥｜x+1｜+｜x-2｜存在实数解,则实数a的取值范围是.
【参考答案】
1. 在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)=(x-1)2与函数g(x)=logax在(1,2］上的图象(如图),从图象中易看出：当01,且x∈(1,2］时,欲使函数f(x)的图象在g(x)的图象的下方或重合,须满足loga2≥1,即a≤2,
故所求实数a的取值范围为(1,2］.
2. 设fa=x-2a+x2-4x+4,a∈-1,1,则原问题转化成求fa>0恒成立．
(1) 当x=2时,y=0不合题意．
(2) 当x≠2时,f-1>0，
f(1)>0.x3．
即：实数x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞)．
3. 设f(x)=x+1+x-2,而函数f(x)的最小值为3,
关于x的不等式a≥x+1+x-2存在实数解,a≥3,故a的取值范围是(-∞,-3］∪［3,+∞).