求导运算的“四个优先”

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导数是研究函数问题的重要工具，在研究函数问题时求导运算往往能起着关键性的作用，同学们在求导运算中要特别注意以下“四个优先”.

一、 优先判断函数类型，再用公式

例1 下列各组函数及其导函数中

A. f（x）=ln5+lgx与f′（x）=■+■

B. f（x）=x3+2x与f′（x）=3x2+x・2x-1

C. f（x）=sinx-cos66°与f′（x）=cosx+sin66°

D. f（x）=lnx-■与f′（x）=■

其中正确的代号是 .

分析 先分清原函数由课本中八个基本初等函数所组成，再用相应的公式求导：

A是一个常数与一个对数函数的和的导数，分别用公式（C）′=0和（lgx）′=■；

B是一个幂函数与一个指数函数的和的导数，分别用公式（xn）′=nxn-1和（ax）′=axlna；

C是一个三角函数与一个常数的差的导数，分别用公式（sinx）′=cosx和（C）′=0；

D是一个自然对数函数与一个幂函数的差的导数，分别用公式（lnx）′=■和（xn）′=nxn-1.

解 A中， f′（x）=（ln5+lgx）′=（ln5）′+（lgx）′=0+■=■；

B中， f′（x）=（x3+2x）′=（x3）′+（2x）′=3x2+2xln2；

C中， f′（x）=（sinx-cos66°）′=（sinx）′-（cos66°）′=cosx-0=cosx；

D中， f′（x）=（lnx-■）′=（lnx）′-（x-1）′=■+x-2=■.

故只有D正确，应填D.

点评 优先判断函数类型，再选用求导公式，是正确求导的前提，而选用求导公式的关键又在于仔细分析原函数是由哪些基本初等函数构成的.

二、 优先分离常数，再求导

例2 求下列函数的导数：

（1） f（x）=x2lg2+log2■；

（2） f（t）=■+■.

分析 （1） log2■=■log2x中的■与x2lg2中的lg2是常数，而x是变量.

（2） ■与■都是常数，而t是变量.

解 （1） f（x）=x2lg2+log2■=（lg2）・x2+■・log2x，

f′（x）=［（lg2）・x2+■・log2x］′=［（lg2）・x2］′+（■・log2x）′

=（2lg2）・x+■.

（2） f（t）=■+■=■・t■+■・t■，

f′（t）=（■・t■+■・t■）′=（■・t■）′+（■・t■）′

=-■・■・t■+■・■・t■=-■■+■■.

评注 分离常数的基本原则是：先找准变量，再分离常量，如求f（t）的导数，则t就是变量，其他都是常量.

三、 优先转化，再求导

例3 设函数f（x）=■，求f′（x）.

分析 可利用分式性质，通过裂项，将函数转化为几个单项的和差形式，利用和差的导数公式来解决.

解 由于f（x）=■=2x+■+■=2x+x■+4x-2．

所以f′（x）=（2x+x■+4x-2）′=2-■x■-8x-3.

评注 本题如果直接求导，必须利用商的求导法则，然后将导数化简，计算过程比较繁杂.

例4 设函数f（x）=■+■，求f′（x）.

分析 无理函数若能转化为有理函数，则先转化为有理函数再求导.

解 f（x）=■+■=■

=■ （x>0，x≠1），

f′（x）=（■）′=■=■

=■ （x>0，x≠1）.

评注 函数式转化的基本方法有：分式化为整式，无理化为有理等.同时要特别注意函数式转化的等价问题.

四、 优先求导，再求值

例5 已知函数f（x）=3x（x+1）（x-1）（x+2）+ex.

（1） 求f′（0）， f′（a+1）；

（2） 记g（x）=f′（x），若g′（x0）=ex0，求x0的值.

分析 （1） 先转化再求导，先求导函数再求点的导数；（2） 先求导函数的导函数，再解方程.

解 由原函数转化得f（x）=3x4+6x3-3x2-6x+ex，

求导数得f′（x）=12x3+18x2-6x-6+ex.

（1） f′（0）=12×03+18×02-6×0-6+e0=-5；

f′（a+1）=12（a+1）3+18（a+1）2-6（a+1）-6+ea+1

=12a3+54a2+66a+18+ea+1.

（2） g（x）=f′（x）=12x3+18x2-6x-6+ex，

g′（x）=36x2+36x-6+ex，从而由g′（x0）=ex0得

36x02+36x0-6+ex0=ex0，即6x02+6x0-1=0.

解之得x0=■.

评注 求函数在某点的导数的基本策略是：先求导函数，再求某点的导数；已知导数求某点的坐标的基本策略是：建立方程（组）求解.