数列求和举例

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数列求和是高中数学知识中的一个重要内容，其实质就是数列{Sn}的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求。

数列求和的常用方法有：公式法、分组求和、裂项相消法、倒序求和、错位相减法等，这些方法具有一定的通性，是必须掌握的，下面笔者举例谈几点数列求和的方法：

例1：求和，1+2?2+3?22+……+n?2n-1

解析：本题是典型的运用错位相减法的题型，大多数学生看到此结构，均会用错位相减进行求和，还有其它方法吗？从形式上看，n?2n-1=（xn）1(x=2)，由此得到另一种解法。

解：设：f(x)=x+x2+……+xn=

则：f1(x)=1+2x+2x2+3x2+……+nxn-1

1+2?2+3?22+……+n?2n-1

=

=[1-(n+1)2n](-1)+(2-2n+1)=-1+(n+1)2n+2-2n+1=2n(n-1)+1

点评：本例运用导数，进行数列求和，其方法具有一定的迁移性，对学生数学思维的提高有一定的帮助。

例2：求和，Sn=1-3+5-7+……+（-1）n-1(2n-1)

解析：本题解法多种多样，由（－1）n-1不难想到，对n进行奇、偶性的讨论，在教学发现大多数的学生，分别计算n为奇数及偶数的情形，n为偶数，计算不易出错，但n为奇数时，求和时次数是易错点。若能利用n为偶数时，n-1为奇数，计算量会降低许多。

解：n为偶数时：

Sn=1-3+5-7+……+（2n-3）-(2n-1)

=(1-3)+(5-7)+……+[（2n-3）-(2n-1)]

=(-2)+(-2)+……+（-2）=(-2)×=-n

个

n为奇数时，Sn=Sn-1+an=-(n-1)+(-1)n-1(2n-1)=n(n≥3)

n=1时，上式成立，Sn=

例3：在一个圆直径的两端写上自然数1，将此直径分得的两个半圆都对分，在每一个分点上，写上该点相邻两数之和，然后把分得的四个1/4圆周各自对分，在所得分点上写上该点相邻两数之和，如此继续下去，问这样做第几步后，圆周所胡分点上数字之和Sn是多少？

解析：本题在实际教学中，学生做对的人数极少，大多数学生关注于分点的数字，想将其通项写出，但又不得其法，若能注意到求Sn，即其通项这一基本方法思想，运用求通项公式中，寻找递推式的方法可得下面的解法。

解：设第n步之后，圆周所有分点上数字之和为Sn，则第n-1步之后，圆周所有分点之数字之和为Sn-1 (n≥2)显然n=1时S1=2，

又Sn=Sn-1+2Sn-1=3Sn-1

{Sn}是以2为首项，3为公比的等比数列

Sn=2?3n-1

例4：推导等比数列求和公式

已知数列{an}为等比数列，分比为q，其前几项和为Sn，求Sn

解析：教材中运用的是错位相减法，求和，在这里本文给出另一种常用方法，裂项求和。

解：{an}是等比数列，首项为a1，公比为q

an=a1qn-1=（qn-1-qn）（q≠1）

Sn=a1+a2+……+an

=[(1-q)+(q-q2)+……+( qn-1-qn)]

=

当q=1时，Sn=na1

Sn=