一道中考试题的多解及评析

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2009年淄博市中考数学试题第22题为：

题目 如图1，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连结BD．

(1)求BD 的长；

(2)求∠ABE+2∠D的度数；

(3)求BGAG的值．

下面先给出这个题目各问的多种解法.

图1图2

（1）方法1 连结OC（如图2），由于AD是大圆的直径，所以∠ABD=90°.已知AB是小圆的切线，那么OCAB，则OC∥BD.又O为AB的中点，那么OC是ABD的中位线.已知OC=5，所以BD=10.

方法2 连结OC（如图2），由于AD是大圆的直径，所以∠ABD=90°.已知AB是小圆的切线，那么OCAB.在RtAOC中，已知OA=13，OC=5，所以sinA=513.在RtABD中，由sinA=513及AD=26得BD=ADsinA=10.

（2）方法1 连结AE（如图3），由(1)知C是AB的中点，同理F是BE的中点.由切线长定理得BC=BF，因此BA=BE，所以∠BAE=∠E.由于∠E与∠D是同弧上的圆周角，所以∠E=∠D, 故∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180°.

方法2 连结OB（如图4），由于AD是大圆的直径，所以∠ABD=90°.已知BA、BE同为小圆的切线，所以OB平分∠ABE，即∠ABO=12∠ABE.由于OB=OD=13，所以∠OBD=∠D.

图3图4

显然∠ABO+∠OBD=∠ABD=90°，即12∠ABE+∠D=90°，则∠ABE+2∠D=180°.

方法3 连结OB（如图4），已知BA、BE同为小圆的切线，所以OB平分∠ABE，

即∠ABO=12∠ABE.又OA=OB=13，所以∠ABO=∠A. ∠AOB和∠D分别是同弧上的圆心角和圆周角，所以∠AOB=2∠D，则∠ABE+2∠D=∠ABO+∠A+∠AOB=180°.

（3）方法1 连结AE，连结BO并延长交AE于H，连结OC（如图5）.由（1）、（2）可知AB=24，H是AE中点，且BHAE.由于OCAB，所以BOC∽BAH，那么OBAB=OCAH.又C是AB中点，OB=13，OC=5，所以AH=12013，故AE=24013.

图5图6

根据同弧上的圆周角相等知∠D=∠E,∠GBD=∠GAE.根据对等角相等可知∠BGD=∠GAE，故BGD∽AGE，则BGAG=BDAE=1324.

方法2 连结OB、OC（如图6）,在RtOCB中,由OB=13, OC=5得BC=12.由(2)知∠OBG=∠OBC=∠A.因为有∠BGO=∠AGB,所以BGO∽AGB，那么BGAG=OBAB=1324.

初看此题，貌似平凡，甚至平庸，然细细品味，才觉它有深藏不露的“精彩”.首先，一道看似平凡的题目，却考查了“直径所对的圆周角是直角”、“同弧上的圆周角相等”、“圆的切线及其性质”等等几乎课标要求的所有与圆相关的知识点；第二，在考查圆的基础上，巧妙地与勾股定理、三角形中位线、相似三角形等知识相糅合；第三，本题几乎能考查到所有与圆有关的辅助线的添加方法；第四，本题入口较低，学生上手容易，解法较多.第五，本题看似平常，但象求角的和与比例的值，如果分析方向不正确便很难找到思路，真正能够考查学生对知识的综合运用能力以及思维的深刻性和灵活性，此题有较好的区分度.

总之，这道题目是一道“寓精彩于平凡”好题，作为一道中考中档题当之无愧！