开放探索型问题

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试题特征分析

开放探索型问题指条件不完善、结论不明确、解法无限制的一类试题.其特点是：① 条件的不确定性；② 结构的多样性；③ 思维的多样性；④ 解答的层次性；⑤ 过程的探究性；⑥ 知识的综合性.

解题方法指导

由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，再加上题意新颖，构思精巧，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

（1） 利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行切入.

（2） 反演推理法（反证法）：假设结论成立，根据假设进行推理.

（3） 分类讨论法：当命题的题设和结论不唯一确定，则需要按可能出现的情况加以讨论.

（4） 类比猜想法：由一个问题的结论或方法类比猜想出另一个类似问题的结论或方法.

热点问题解析

一、 结论的开放与探索

例1 （2011·江西）已知抛物线y=-（x-m）2+1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C.

（1） 写出m=1时与抛物线有关的3个正确结论；

（2） 当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；

（3） 请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分略有差异）.

【分析】（1） 将m=1代入y=-（x-m）2+1化简；（2） 令y=0时得出（x-m）2=1得A，B的坐标.令x=0时得出OC=m2-1，求出m的实际值；（3） 根据m值的不同分情况解答.

【解析】解：（1） 当m=1时，抛物线的解析式为y=-x2+2x.正确的结论有：① 抛物线的解析式为y=-x2+2x；② 开口向下；③ 顶点为（1，1）；④ 抛物线经过原点；⑤ 与x轴另一个交点是（2，0）；⑥ 对称轴为x=1；

（2） 存在.当y=0时，-（x-m）2+1=0，即有（x-m）2=1. x1=m-1，x2=m+1.点B在点的右边，A（m-1，0），B（m+1，0）.点B在原点右边，OB=m+1.

当x=0时，y=-m2+1，点C在原点下方，OC=m2-1.当m2-1=m+1时，m=2或m=-1（因为对称轴在y轴的右侧，m>0，所以不合要求，舍去），存在BOC为等腰三角形的情形，此时m=2.

（3） 如：①对任意的m，抛物线y=-（x-m）2+1的顶点都在直线y=1上；② 对任意的m，抛物线y=-（x-m）2+1与x轴的两个交点间的距离是一个定值；③ 对任意的m，抛物线y=-（x-m）2+1与x轴两个交点的横坐标之差的绝对值为2.

【点评】这类题目是在给定条件下，探索相应对象是否存在.本题综合考查二次函数的知识点.此类函数开放题，具有发散性，其基本解题方法：假设存在，演绎推理，得出结论.

拓展问题 已知二次函数y=a（x2-6x+8），（a>0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

（1） 如图2，连接AC，将OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′，恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

（2） 如图3，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）.若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；

（3） 如图3，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由.

二、 解题方法的开放与探索

例2 （2008·江苏南京）如图4，已知O的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP=10 cm，射线PN与O相切于点Q.A，B两点同时从点P出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为t s.

（1） 求PQ的长；

（2） 当t为何值时，直线AB与O相切？

【分析】第（2） 小题是一道条件探索性问题.其解法是“执果索因”，要得到直线AB与O相切，即要分类讨论，但就其解题策略来说也属于解题方法的开放与探究问题.

四边形OCBQ为矩形.BQ=OC=6.

① 当AB运动到如图5所示的位置时，

BQ=PQ-PB=8-4t=6.解得t=0.5（s）.

② 当AB运动到如图6所示的位置时，

BQ=PB-PQ=4t-8=6.解得t=3.5（s）.

所以，当t为0.5 s或3.5 s时直线AB与O相切.

【点评】此题考查三角形相似、矩形的判定以及直线和圆的位置关系，综合性较强，注意分类思想和数形结合思想的应用.这类题目常以几何图形为背景，设置探索几何量间的关系或点、线位置关系，考查同学们的综合解题能力.

拓展问题 如图7，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动.两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x s.

（1） Q点的坐标为（_______，_______）（用含x的代数式表示）.

（2） 当x为何值时，APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？

（3） 记PQ的中点为G.请你探求点G随点P、Q运动所形成的图形及理由.

【参考答案】

（3） 点G随点P、Q运动所形成的图形是线段MN.