可变网格多尺度有限差分模拟方法

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摘要： 针对典型各项同性地质模型，地震波波动方程和有限差分法对交错网格地震波场进行模拟仿真研究。为了得到一阶速度应力弹性波方程，首先对地震波波动方程原始形式进行推演，然后用时空二元高阶交错差分网格的方法对其进行离散化，最后对地质模型模拟仿真实验，并获取了对应的波场快照。最后由仿真结果表明，算法计算精度准确，计算效率高，而且可变网格的变换对地质模型的研究起到了很重要的作用。

Abstract： Aiming at the typical gay geological model， the seismic wave equation and finite difference method are used to do simulation research to the staggered grid seismic wave field. In order to get a first order rate of seismic wave equation， the original form of the seismic wave equation is deduced firstly. Then space-time dual higher order difference staggered grid method is used to do discretization. Finally the geological model simulation experiment is done and the corresponding wave field snapshots are obtained. The simulation results show that the algorithm is accurate with high computational efficiency， and the varision of variable grid is of important significance for the study geological model.

关键词： 有限差分；地震模型；波动方程；正演模型

Key words： finite difference；seismic model；wave equation；forward model

中图分类号：O241.82 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）02-0315-02

0 引言

随着地震勘探面临的勘探任务越来越复杂，地震勘探成效在很大程度上，取决于对基于符合实际介质模型的方法理论研究。本文就详细介绍了有限差分法对交错网格地震波场进行的模拟仿真研究。一般的有限差分地震模拟方法是规则的交错网格。但是当地质体强纵横向变速介质时计算效率却很低。为此，人们研究了基于可变网格和不规则网格的地震波数值模拟方法。它对地质模型的离散化更为合理，同时，对于保持模型计算的灵活性也非常重要。从空间采样的角度考虑，最有效的提高模拟精度同时又降低计算机内存需求的方法，就是在模型的不同区域采用不同的网格步长，即可变网格（也称为不规则网格）[1]。

1 正演模拟方法原理

1.1 均匀各向同性完全弹性介质的弹性波动方程 由本质上讲，地震波就是在地下岩层中传播的机械弹性波，但反映弹性波传播的基本规律是由弹性波的波动方程[2]。由研究岩石的不同物理参数得到均匀各项同性完全弹性介质的波动方程，即

■+■+■+ρg■=ρ■■+■+■+ρg■=ρ■■+■+■+ρg■=ρ■（1）

式中：t为时间分量；u，v，ω为介质位移在x，y，z三个方向上的分量；σxx、σyy、σzz、τxy、τyz、τzx为应力分量；gx、gy、gz为体力密度分量；ρ为介质密度。

1.2 各向同性介质中的一阶弹性波方程 弹性波理论是弹性体受力和应变的关系，根据各向同性介质表示的的本构方程和表示的柯西方程，可以推导出一阶速度—应力弹性波方程。二维二分量各向同性介质中的一阶应力—速度弹性波方程（假定体力为零）[4]，即

ρ■=■+■ρ■=■+■■=（λ+2μ）■+λ■■=λ■+（λ+2μ）■■=μ（■+■）（2）

式中λ、μ表示拉梅弹性常数，ρ表示弹性体密度，σ■、σ■表示正应力，σ■表示切应力，vx、vz分别表示x方向、z方向速度分量。

2 网格有限差分法

2.1 有限差分法基本原理 有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种数值计算方法，基本思想是：将波场域离散为许多小网格，应用差分原理，用差商来近似代替微商，将求解的连续函数问题转换为求解网格节点上的离散的差分方程组的问题[5]。

2.2 高阶方程化为低阶方程的一般方法 解决高阶方程化低阶方程的问题，其基本思路是将高阶差分分裂成低阶方程（二阶）。在每一延拓步长中交替使用低阶方程进行延拓，即可达到高阶差分延拓的目的。

当色散方程Muir展开式的项数取得比较多时，一般式为■=-■■■p

并可（在zj，zj+1间隔内）分裂成下列方程组

■=-■■p■ p■（z■）=p（z■）■=-■■p■ p■（z■）=p■（z■） ┆■=-■■p■p■（z■）=p■（z■）（4）

频率——波数域方程组

■+a1v■+■■=0 p■（z■）=p（z■）■+a2v■+■■=0 p■（z■）=p■（z■） ┆■+an-1v■+■■=0 p■（z■）=p■（z■）（5）

时间——空间域方程组

在p1（x，τ，t）间隔内交替使用上式中的各二阶方程组，即可完成高阶方程的延拓、偏移。

2.3 有限差分方程的应用过程三步骤

首先，通过对研究体网格分解，将连续函数空间分成许多不重合的子空间，子空间采用正方形网格，减少后面计算的复杂。其次，由泰勒公式展开，用差商代替微商，将连续变化变量离散化处理，得到有限差分方程组。最后，编写程序，求解有限差分方程组，显示输出结果。

3 各向同性介质弹性波正演模拟结果

通过模拟地震波在均匀介质中的传播过程来分析可变网格差分正演模拟的精确度。

均匀介质模型的计算区域为均匀介质情况下弹性波脉冲，纵波速度Vp=2000m/s，横波速度Vs=800m/s，震源在平面中心点。采样间隔Δt=2ms。

图1各向同性介质中网格：301×301，空间步长Δx= Δz=5m时二阶差分模拟波场快照（左图：水平分量；右图：垂直分量）

图2 各向同性介质中网格：301×301，空间步长Δx= Δz=10m时二阶差分模拟波场快照（左图：水平分量；右图：垂直分量）

图3各向同性介质中网格：301×301，空间步长Δx= Δz=20m；时二阶差分模拟波场快照（左图：水平分量；右图：垂直分量）

通过模拟和仿真实验，得到对应于典型地质模型的波场快照，并依据这两种图像进行了对比，分析了其相似和区别，得到了与具体地质模型相符合的结论。

4 结论

依据上述研究，本文通过对地震波动方程的有限差分化推导和fortran编程，基于可变网格的技术，对典型地质体模型进行了模拟实验，得到了相对的波场快照，并依据图像进行了对比，分析了其相似和区别。证明了可变网格多尺度有限差分模拟方法是一种实用性好、精度高、计算效率高的地震波场正演模拟方法。

高阶有限差分法在对波动方程正演模拟时，具有计算速度快、频散小的特征，在对有限差分正演过程中必须注意震源、地质体、边界条件等因素的影响。

参考文献：

[1]Smith D N，Ferguson J F.Constrained inversion of seis—mic refraction data using the controlled random search[J].Geophysics，2000，65（5）：1622-1630.

[2]杜世通.地震波动力学[M].山东东营：石油大学出版社，1999：238.

[3]董良国，马在田，曹景忠.一阶弹性波方程交错网格高阶差分解法[J].地球物理学报，2000，43（3）：411-419.

[4]刘军迎，雍学善，高建虎，杨午阳.多波多分量地震波场数值模拟及分析[J].石油物探，2007，46（5）：451-456.

[5]左莹（导师：李庆春）.基于高阶交错网格的有限差分地震波场数值模拟[D].长安大学，2009-05-25.