培养学生归纳推理能力的探索

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[摘要]归纳推理是从个别性知识推出一般性结论的推理，它是一种非常有价值的数学方法，归纳推理能力是义务教育的培养目标之一。培养学生归纳推理能力是一项长期的、耐心细致的工作，需要教师利用课堂教学和课后练习逐步渗透归纳推理思想、展示归纳推理作用、培养归纳推理能力，让学生们尝到使用归纳推理方法的甜头，调动他们学习数学的积极性，为进一步学好数学打下良好基础。

[关键词]学习；研究

归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。归纳推理是一种非常有价值的数学方法，它是科学发现的种子。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出：“推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例。”这就明确地把归纳推理确定为义务教育的培养目标之一。如何在教学实践中完成好这一培养目标，是摆在我们数学教育工作者面前的一项重要课题，笔者通过多年的数学教学实践，觉得应该从以下几个方面来培养学生的归纳推理能力。

一、名人数学故事引导，渗透归纳推理思想

例1，高斯是德国伟大的数学家，是现代数学的奠基人。他在小学读书时就善于动脑思考问题。他十岁的时候，有一天，一些男同学上课时捣乱，老师生气了，放学时把他们全留在教室里，还出了一道计算题，要求把从1到100的所有数字加起来，谁做对了才能走。大家都拿出作业本开始加数，只有小高斯例外，他沉思了几分钟，写下答案交给了老师，老师看了这个答案是对的，只好放他回家。老师和其他同学都为高斯做得那么快而感到吃惊。第二天，老师问高斯那道题是怎样做的，高斯说：“好的，您看，100+1=101，99+2=101，98+3=101，… …51+50=101，这样就得到50次101，所以结果是5050。”这个故事一直被人们传为佳话。在这个故事里边，高斯用了归纳推理的方法迅速得出了答案。

例2 ，200多年前，德国有一位伟大的数学家叫哥德巴赫，他在研究偶数性质的时候，发现了一个有趣的现象：6=3+3，8=3+5，10=5+5，12=5+7，… …，100=3+97等等，于是他推断：每一个不小于6的偶数，都可以写成两个质数的和。他又对许多偶数进行了验证，都说明这个推断是正确的，由于偶数的个数是无限的，不可能把所有的偶数都拿来试一试，还必须加以理论上的证明，哥德巴赫自己无法证明，当时的大数学家欧拉也没能够证明。因为没有证明，不能成为一条定律，所以只能说是一个猜想，人们就叫它“哥德巴赫猜想”，成为世界公认的数学难题。

200多年以来，中外许多数学家都绞尽脑汁地想证明它，1972年，中国数学家陈景润在世界上第一次证明了“1+2”：即任何一个充分大的偶数，都可以表示成一个质数加两个质数的乘积，如108=17+13×7。陈景润的研究成果在世界上处于领先地位，被称为“陈氏定理”，但还是没有最终解决“哥德巴赫猜想”。在这个故事中，哥德巴赫用归纳推理的方法得到了他的推断，为世界数学的发展做出了重大贡献。

老师可选择合适的机会向学生们介绍类似上面的故事，向他们渗透归纳推理的思想，引起学生们对归纳推理的兴趣，为他们在学习中更多的使用归纳推理方法而打下良好的思想基础。

二、精心选择教材内容，展示归纳推理作用

中小学数学教材中有很多归纳推理的应用实例，教师要善于选择和利用，向学生们展示归纳推理的作用。

例1，在教师的引导下，让学生们通过观察、比较或实验等方法，学会用归纳推理的方法从个别中发现规律。

如：实验1量自己数学课本封面的长、宽、周长，比较（长+宽）×2与周长的大小。

实验2量自己课桌桌面的长、宽、周长，比较（长+宽）×2与周长的大小。

然后老师给学生提出问题：1、数学课本封面和课桌面都是什么形状？2、通过两次实验，大家能得出什么结论？

当学生们思考讨论后很容易归纳出：长方形周长=（长+宽）×2。此时老师可画龙点睛地来点评：同学们通过自己动手操作、计算、比较后得出了长方形周长公式，这是我们大家共同取得的成绩，在这个过程中，我们从课本、课桌的长、宽及周长的关系这个个别性知识推出长方形周长等于长与宽之和的2倍这个一般性结论，这就是归纳推理的过程。以后我们在学习数学中要经常用到这种方法。

例2，在讲授商不变性质的时候，可让几个学生分别在黑板上计算下面几个式子：

6÷3 60÷30 600÷300 6000÷3000

当学生们计算出结果后，把这几个式子放在一起：

6÷3=2

60÷30=2

600÷300=2

6000÷3000=2

此时老师引导学生对这几个式子从上往下看，被除数、除数是怎样变化的，商怎么样。再引导学生们从下往上看，被除数、除数是怎样变化的，商怎么样。把这两个方面结合起来，学生们自己就可以归纳出商不变的性质。

例3，在有理数加法一节中，有这样一组趣题，能很好地体现归纳推理的思想方法，要很好利用。观察有趣奇数的求和，并填空：

1=1×1；1+3=2×2；1+3+5=3×3；1+3+5+7=4×4

则①1+3+5+…+17=（ ）；

②1+3+5+…+（ ）=17×17；

③1+3+5+…+2n-1=（ ）。

这几个式子规律性很强，当同学们计算、讨论研究后，老师可引导大家继续做如下两个式子：

1+3+5+7+9=5×5； 1+3+5+7+9+11=6×6

这样就把规律性“做大做强”，也就很容易让同学们归纳出“从1开始的n个连续奇数的和等于n×n。”把这句话用数学式子来表示是：1+3+5+…+2n-1=n×n。当然，应该认识到这个结论的正确性还有待进一步证明。这里还需要说明的是，从1开始的n个连续奇数的最后一个数就是2n-1，这也可以从上面几个式子归纳而得。根据归纳出的结论，这3个填空题就很容易解决了。

三、合理配置课后练习，培养归纳推理能力

适当留一些课后练习题和思考题是巩固教学成果的重要方法，也是行之有效的方法。特别是数学归纳推理能力的培养更是如此。教师要根据教学内容合理配置一些归纳推理方面的习题，逐步提高同学们归纳推理的能力。

例1，给学生布置下面一组有趣的课后练习题：

（53-35）÷（5-3）

（41-14）÷（4-1）

（62-26）÷（6-2）

让大家归纳出一般规律，再把此规律变成一个非常实用的速算法：53-35=（5-3）×9

41-14=（4-1）×9

62-26=（6-2）×9

……

例2，课后练习题。先进行笔算：

14×16 23×27 62×68

要求：根据乘数、被乘数的特点以及和结果的关系，归纳出“十位数字相同，个位数字之和等于10的两个两位数之积的速算法”，然后按此方法直接写出下面各式的结果，再验算其正确性。

34×36 41×49 35×35 45×45

其中的41×49按照上面归纳出的速算法直接写出结果是41×49=209，而实际是41×49=2009，问题出在哪呢？原来：当两个个位数之和等于10的时候，有1+9；2+8；3+7；4+6和5+5几种情况，后四种情况的两个个位数之积都大于10，而只有1×9=9小于10，所以此时乘积的十位应该用0占位。把这种情况补充进去，这个速算法才完整。当然，有的同学能够认识并解决这个问题，有的不会想到这个问题，这就需要老师来点拨。

通过完成35×35 =1225 45×45=2025这两个练习题，还可归纳出“个位数是5的相同的两个两位数相乘的速算法”，让同学们自己验算。

例3，先计算：

9+99+3 9+99+999+4 9+99+999+9999+5

再归纳出9+99+…+9999999+8

对于合理配置的课后习题，教师要及时检查学生完成的情况，对存在的问题要进行点评和总结，完成好的要及时表扬和鼓励。

总之，培养学生归纳推理能力是一项长期的工作，更是一项耐心细致的工作，坚持从小学生抓起，从小学课堂做起，初中阶段要逐步加强，这些都贵在教师的坚持和引领。要让学生们逐渐认识到归纳推理的优越性，尝到使用归纳推理的甜头，从而调动他们学习数学的积极性，为进一步学好数学打下良好基础。