解析两例密度测量问题

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题目1.（2006年陕西省课改实验区）老师鼓励小明在缺少砝码的条件下测出大理石的密度。现有器材：天平、量筒、两个完全相同的烧杯、水、一小块大理石、细线和滴管等。小明稍加思考，决定用以下方法进行实验。① 将天平放在水平台上，游码拨至______，调节_____使天平平衡。② 在天平左右两盘各放一只烧杯，将大理石放在左盘的烧杯里，在右盘的烧杯里加水，快平衡时用滴管调节水的多少，直至天平平衡（如图）。③ 将烧杯中的水倒入量筒中（液面位置如图），读出体积并记录。④ 用量筒和水测得大理石的体积为20cm3。

分析 本题给我们提供了一种在缺少砝码的情况下测量大理石密度。有量筒和水运用排液法可以测量大理石的体积V2。关键是如何用量筒间接地测量出大理石的质量m，其基本思路正如试题所述：在天平左右两盘各放一只烧杯，将大理石放在左盘的烧杯里，在右盘的烧杯里加水，快平衡时用滴管调节水的多少，直至天平平衡，此时天平两盘物体质量相等，又因两个烧杯完全相同，所以左盘杯里大理石的质量m2就等于右盘杯中水的质量m1。用量筒测量出这些水的体积V1，而水的密度已知，即可计算出水的质量m1，最后根据公式P=m2/V2得出大理石的密度。

点评 没有砝码，巧用知识，可测密度。思路清晰，难度不大，易于理解。如果试题不提供这种测量思路，直接要求同学们设计实验方案来测量大理石的密度。那难度大大增加了。

题目：（2006年山江省临江市）张磊同学在河边拣到一精美的小石块，想粗略知道小石块的密度，于是他从学校借来一架天平，用纸杯改装了一只溢水杯，再借助于水，就巧妙地估测出了小石块的密度。请你也用这些器材设计估测小石块密度的实验方案，并得出和实验方案相一致的密度表达式。

分析 运用所学知识测量小石块密度的理论依拓是P=m/V。

方案一 用天平可直接测量的小石块的质量m，这里不再多说。

小石块体积的测量，在没有量筒的情况下，只能根据V′=m′p′间接进行测量。若p′（如水）已知，可用天平测量这种密度已知的液体（如水）的质量m1，再运用公试计算出这种液体的体积。同学们如何找到这种液体（如水）的体积V′与小石块体积V相等的切入点呢？将溢水杯装满水，用天平测出总质量m1，再将小石块浸没于装满水的溢水杯内，待溢出一部分水后，取出小石块，用天平测量剩余水和杯子的总质量m2。因小石块放入而溢出水的质量m′=m1-m2，又知水的密度为p′，根据V′=m′p′计算出溢出的水的体积，该体积在大小上下小石块的体积V，计算过程为V=V′=m′p′=（m1-m2）/p′，所以小石块的密度为p=m/V=［m/（m1-m2）］p。

方案二 同理，先测量出小石块质量m。根据公式V′=m′/p′并借助密度已知的水间接测量小石块的体积，具体做法是：将溢水杯装满水，用天平测出总质量m1，再将小石块浸没于装满水的溢水杯内，待溢出一部分水后，测量出小石块、溢水杯和杯中剩余水的总质量是m″，经分析可知，溢出的水的质量是m′=m+m1+m″，水到渠成得出溢出的水的体积即小石块的体积为V=V′=m′/p′=（m+m1-m″）/p′，所以小石块的密度可表示为p=m/V=［m/（m+m1-m″）］p′。

方案三 具体测量过程是：将溢出水杯适量水，测量出溢水杯和水的质量；用细线拴好小石块并将小石块浸没于水里，此时在水面位置做上记号，取出小石块；再往溢水杯内加水到水面上升记号处，测量出此时溢水杯和水的总质量，两次质量之差与水的密度之比即为小石块的体积。

答案方法一：先用天平测量小石块的质量m，再将溢水杯装满水，用天平测出总质量为m1，将小石块浸没于装水的溢水杯内，待溢出一部分后，取出小石块，用天平测量剩余水和杯子的总质量m2。密度表达式为：p=［m/（m1-m2）］p水

（其他测量方法只要合理即可）点评 上述三种测量方法，从原理上都可测量出小石块的密度，无可挑剔。但细心分析，权衡利弊，从操作的可行性上来看，第二种方案比第一种方案有优势，第二方案无需取出小石块，易于操作。但第三种方案与第一、二种方案相比，更易于操作，因为第三种方案不需要把水加满。

在利用天平、溢水杯和水测量体积时，如有条件，可作记号的话，最好不采用“在溢水杯中加满水”的做法，这种做法易在实验过程中将水溢在天平盘上：也有可能造成总质量超过天平的量程。

思考从这两例可以看出，同学们在学习密度的测量时，不仅要掌握最基本的用天平（附砝码）和量筒熟练地测量固体或液体的密度的方法，而且还应掌握由此演变出来的只有量筒没有天平（或天平无砝码）怎样测量密度和只有天平没有量筒如何测量密度的办法，其出发点者是借密度已知的水，最终得到待测固体或液体的质量和体积，从而解决问题。