小谈升考中常见二次函数最值问题和解题方法

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二次函数是中学数学最基本也是最重要的函数，二次函数最值渗透在初中及至高中整个过程的许多环节里，历来都是升考、高考的重点、热点；这里结合升考题型，对二次函数最值问题进行探讨。下面就从以知识点、常见题型和解决方法等加以分析：

一、各种类型的最值问题知识点解析：

1.没有给定自变量取值范围的最值问题

二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的自变量x取任意实数时，在x=-■处，函数取得最大（小）值为y最值=■。

例1：（2012广东深圳）二次函数y=x2-2x+6的最小值是 。

解：a=1，b=-2，c=6

开口向下，当x=■=1时，

y最小值=■=5。

例2：（2012广西北海）大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒。调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：

（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（2）每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？最高利润是多少？

解：（1）设所求的函数关系式为y=kx+b，则10k+b=20014k+b=160

解得：k=-10；b=300。

y=-10x+300。

（2）由（1）知超市每星期的利润：

W=（x-8）·y=（x-8）（-10x+300）=-10（x-19）2+1210

当x=19，即定价19元/个时超市可获得的利润最高，最高利润为1210元。

2.给定自变量取值范围的最值

当自变量x有取值范围的限制时，其所对应的图象只是抛物线上的一部分。根据对称轴的位置分为如下图的各种情形，图象上最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点即为函数的最小值。

例3：（2010湖北武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）.

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

解：（1）y=50-■ （0≤x≤160）；

（2）W=（180+x-20）（50-■）=-■+34x+8000

（3）因为W=-■+34x+8000，x=-■=170；0≤x≤160，故当x=160时，订房数y=50-■=34，达到最大利润是10880元。

二、求二次函数最值的方法

1.公式法：当x=-■处，函数的最大（小）值为y最值=■；

2.配方法：把函数的解析式配方成y=a（x-h）2+k （a≠0）的形式，当x=h时，y最值=k

3.代入法：把对称轴x=-■代入函数解析式中求出最大（小）值。

三、应对策略

在升考的考试中，考生遇到求二次函数最值问题时，首先应求得正确的解析式；其次根据题意判断自变量是否有取值范围的限制；再次灵活选择方法来求是其最值。

例4：（2011山东泰安）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件。

（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？

（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？

分析：此题的第二问就是最值问题，而纵观题目只给出自变量x≥25，考虑到此类函数应用题的答案多是整数，可选择“代入法”。

解：（1）获利：（30-20）[105-5（30-25）]=800（元）

（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，则：

y=（x-20）[105-5（x-25）]=-5（x-20）（x-46）

对称轴是x=■=33时，y=-5（33-20）（33-46）=845元。

故当售价为定价格为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。

例5：（2010 内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45。

（1）求一次函数的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

分析：此题中明确提出“销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%”是对自变量x取值的限制，选择“配方法”或“公式法”。

解：（1）根据题意得10k+b=20014k+b=160解得k=-1，b=120.

y=-x+120

（2）W=（x-60）（-x+120）=-（x-90）2+900

60≤x≤87

当x=87时，W=-（87-90）2+900=891.

当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元。

【参考文献】

[1]《数学教学通讯》2002年第S9期，作者：张中伟、张竞雄

[2]《中学考试通讯（初中版）》1994年第07期，作者：莫永安

[3]《函数和极限的故事》，作者：张远南