转换思维角度“曲径”变“坦途”
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇转换思维角度“曲径”变“坦途”范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
摘 要:“曲”和“直”是对立统一的两个方面,有效运用“化‘曲’为‘直’,以‘直’代‘曲’”的思想方法,可以将一些难题化解. 我们需要有创造性的观念,需要优化与发展学生良好的思维品质. 一些看似复杂的问题却不复杂,“曲”“直”转换的思维策略常常会产生预想不到的收获.
关键词:化曲为直;以直制曲;以直代曲;转换思维策略
数学教学最重要的是培养学生的创造力,而解题则是培养创造力的最好手段. 对于不同的数学问题选择不同的思维角度,解题效果往往截然不同. 台湾著名心理学教授张春兴说过一段很深刻的话:“善于解决难题的人,其最大特征就是能突破功能固着的心锁,针对需要,善择手段以达到目的.” “曲”和“直”是对立统一的两个方面,两者在一定条件下可以相互转化,在解题实践中,若能有效运用“化‘曲’为‘直’,以‘直’代‘曲’”的思想方法,则可以将一些难题化解. 以下结合几个典型问题逐一“点击”.
辨析几何元素――化“曲”为“直”
在平面几何、解析几何以及立体几何中,“化直法”,即对原有几何图形通过对称、曲线定义、空间图形展开等方法被广泛应用. 将折线、曲线转化为直线来处理的技巧,对图形处理能力要求较高,往往需要理解图形中各几何元素的位置关系,方可有效实现转化.
例1水管或煤气管的外部经常需要包扎,以便对管道起保护作用,包扎时用很长的带子缠绕在管道外部. 若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分(不考虑管子两端的情况,如图1所示),这就要精确计算带子的“缠绕角度α”(α指缠绕中将部分带子拉成图1中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分). 若带子宽度为1,水管直径为2,求“缠绕角度”α的余弦值.
分析根据题中关于“缠绕角度α”的描述,对空间的几何体进行展开处理,将空间的问题转化为平面问题,如图2所示. 只需正确辨别和理解展开图与原图之间的线、面、角等关系,过点N作NQMP交MP于点Q,则在RtMNQ中,∠MNQ=α,所以cosα==.
例2如图3,在平面直角坐标系xOy中,平行于x轴且过点A(3,2)的入射光线l1被直线l:y=x反射. 反射光线l2交y轴于点B,圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程;
(2)设P,Q分别是直线l和圆C上的动点,求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标.
图3
分析(1)反射光线l2所在的直线方程为x-y-4=0,圆C为(x-3)2+(y+1)2=9.
(2)因点B,Q位于直线l的同侧, 记点B关于l的对称点B′,固定点Q后发现,当B′,P,Q共线时,PB+PQ最小,故PB+PQ的最小值为B′C-3. 计算可得对称点B′的坐标为(-2,2),PB+PQ最小值为B′C-3=2-3.
置换变量约束――以“直”制“曲”
例3已知函数f(x)=,如果关于x的方程f(x)=kx2有4个不同的实数解,求实数k的取值范围.
分析思路1,根据绝对值的意义针对x=0,x0进行讨论,转化为研究方程kx2+2kx+1=0(x0)的根的分布情况.
思路2,原方程即为=kx2=kx2,因此分别对x=0,x≠0进行讨论,进而研究方程=kx的根的分布情况,转而研究折线y=kx与函数y=图象的交点个数.
思路3,针对x=0,x0进行同样讨论,进而转化为研究方程k=(x0)的根的分布情况,再分别利用导数判断函数g(x)=(x0)的单调性,最后讨论直线y=k与函数g(x),h(x)图象的交点个数.
思路4,对思路3的方法稍作转换,得=x2+2x(x>0),-x2-2x(x0),-x2-2x(x1.
上例所述思路都是利用函数图象求解,但研究的“目标函数”有别,思路2、3、4重组方程结构,化为直线与曲线的位置关系直观求解,是数形结合中值得肯定的一种方法. 将原问题中含参数的方程转化为动直线与定曲线间的相互位置关系,挣脱原有题设的束缚,激活多元思维,创造了新的解题平台.
针对2007年高考广东理科卷20题:
已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.
笔者曾对高三的某2个班级115名学生做过检测,发现17名学生平均花费7分钟时间解答完本题且答案全部正确,另外98名学生25分钟后能解答出结果的却只有31人!其本质的差异就取决于解题的目标意识和对“函数与方程思想”有深刻的把握度与理解度. 当85%的学生与二次函数曲线“难舍难分”之时,15%的学生却已在分离变量、化曲为直的“坦途”上潇洒行进.
f(x)=2ax2+2x-3-a=0在[-1,1]上有解?圳(2x2-1)a=3-2x在[-1,1]上有解?圳=在[-1,1]上有解,问题转化为求函数y=在[-1,1]上的值域,从而得a的取值范围a≤或a≥1.
体验知识生成――以“直”代“曲”
数学新课程(标准)在选修系列2-2中增加了定积分概念和微积分基本定理,其中蕴涵着重要的数学思想――极限思想,它是人们认识世界的一种重要的思维模式. 在“分割、以直代曲、作和、逼近”这一完整的过程中,第二步“以直代曲”的思想十分关键.
例4已知抛物线C:x2=4y,设直线y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1-x2=a(a>0),M是弦AB的中点,过M作平行于y轴的直线交抛物线C于点D,得到ABD;再分别过弦AD,BD的中点作平行于y轴的直线依次交抛物线C于点E,F,得到ADE和BDF;按此方法继续下去(如图4).
(1)计算ABD的面积SABD;
(2)根据ABD的面积写出ADE,BDF的面积;
(3)请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法,并求出此封闭图形的面积.
分析(1)由x2=4y,y=kx+b, 得x2-4kx-4b=0. 当Δ=16k2+16b>0时,x1+x2=4k,x1x2=-4b. 由x1-x2=a,即(x1+x2)2-4x1x2=a2,得16k2+16b=a2. 又AB中点M的坐标为(2k,2k2+b),点D(2k,k2),SABC=MD•x1-x2=k2+b•a=.
(2)由问题(1)知,ABD的面积仅与x1-x2=a有关,由于xA-xD=,xB-xD=,所以ADE与BDF的面积SADE=SBDF===. 由题设中构造三角形的方法,可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积看成无穷多个三角形的面积的和. 设数列an=,所以S=++…++…=.
不难验证,这一结果与用定积分求解结果一致,即kx+b-dx=. 上述问题中“刨光磨平”的逼近过程正体现了定积分的基本思想和内涵!
例5(2003年江苏卷•22)设a>0,已知直线l:y=ax及曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0
图5
(1)试求an+1与an的关系,并求{an｝的通项公式;
(2)当a=1,a1≤时,证明:(ak-ak+1)ak+2
(3)当a=1时,证明(ak-ak+1)ak+2
分析(1)(2)略,问题(3)用一般方法解答既烦琐又显技巧,现在我们应用定积分来处理这一不等式的证明,它更能体现数学的美妙之处!如图6,由(1)及a=1知ak+2=a,所以(ak-ak+1)ak+2即可表示为图中矩形的面积Sk,显然其面积小于由Qk,Qk+1及(ak+1,0),(ak,0)四点围成的曲边多边形的面积,记为Tk,则(ak-ak+1)ak+2=Sk
图6
例6数列{an｝中,设an=(n∈N+),g(n)=ai . 试证明:
分析易证{g(n)｝(n∈N+)为递减数列,则g(n)≤g(1)=. 作出函数y=在第一象限的图象,由g(n)=++•••+=1×+1×+•••+1×,其可以看做是n+2个矩形的面积(如图7),则g(n)=ai>dx=ln2+>ln2>(注:ln2约为0.6931). 这就是化曲为直的神奇力量!
图7
数学家庞加莱说:“数学的优美感不过就是问题的解答合乎我们心灵需要而产生的一种满足.” 简单、明快地解决问题正是我们追求解决问题的最佳途径,也是满足心灵的一种真正体现. 一个学生所拥有的知识不是一池静水,而是活水源头,即新的思想或观点犹如涓涓细流不断汇入其中,构成一个永远涌动和更新的知识源泉. 我们需要有创造性的观念,需要发展与优化学生良好的思维品质,一些看似复杂的问题却并不复杂――“曲直”转换的思维策略常常会产生预想不到的意外收获.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文