圆周运动中的临界问题

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摘 要： 作者在教学过程中发现学生对圆周运动中的临界问题无从下手，找不到切入点，就此方面内容做如下总结，希望对大家能有所启发，这类问题对物理过程的分析必须十分透彻，解决问题的关键在于把握临界状态下物体的受力特征和运动特征。竖直平面内的圆周运动教材分析比较详细，各位老师分析得也很全面，本文主要就水平面内的圆周运动进行讨论。

关键词： 圆周运动 渐近 临界 最值 线速度

水平面内的圆周运动多以绳是否张紧，或最大静摩擦力作为临界问题的切入点。

例1：如图5所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，g取10m/s ，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？

分析：当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。让ω逐渐增大，则小球的转动平面将上升。证明如下：

mgtanθ=mω Lsinθ

g=ω Lcosθ

g=ω h（h为悬点到转动平面的高度）

ω增大，则h减小

当ω增大到30°时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为ω ，则有：

mgtan30°=mω Lsin30°

ω =

ω =2.4 rad/s

当角速度ω继续增大时T 减小，T 增大。设角速度达到ω 时，T =0（这又是一个临界状态），则有：

mgtan45°=mω Lsin30°

将已知条件代入上式解得 ω =3.16 rad/s

所以，当ω满足2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s，AC、BC两绳始终张紧。

例2.如图6所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块。A离轴心r =20cm，B离轴心r =30cm，A、B与圆盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.4倍，取g=10m/s 。（1）若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？（2）欲使A、B与圆盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？（3）当圆盘转速达到A，B刚好不滑动时，烧断细线，则A，B将怎样运动？

图6

分析：（1）一个物体时，当ω较小时，摩擦力提供向心力，由此即使两个物体中间连线ω较小时，也都是各自的摩擦力提供向心力，让ω逐渐增大，A，B分别需要的向心力为mω r ，mω r ，因为r >r ，所以随ω增大，B需要的向心力增加得快，所以B将首先达到最大静摩擦力，此后若ω再增大，B需要的向心力增大，B的最大静摩擦力不足，则绳中将开始出现张力补充提供的向心力。所以应该用B算细线上没有张力时ω的最大值。设ω的最大值为

对B：f =mω r ω = ？摇=3.65 rad/s

所以若细线上没有张力，则ω≤3.65 rad/s

（2）在B已达最大静摩擦力的情况下，继续让ω增大，对B，需要的向心力mω r 继续增大，则A.B间绳出现张力补充提供向心力，对B：f +F =mω r ，随ω增大，F 增大，此时对A：f-F =mω r ，

ω增大，F 增大，所以A的静摩擦力f必增大，继续让ω增大，直到A的静摩擦力f达到f ，若ω再增大，A需要的向心力mω r 增大，则（提供的向心力）f -F

对A受力如图：

f -F =mω r

0.4mg-F =mω ①

对B受力如图：

f +F =mω r

0.4mg+F =mω 0.3②

由①②ω =4rad/s

（3）当A达到f 时烧断细线，则F 瞬间消失，

对A，f >mω r ，A随盘转动。

对B，f >mω r ，B离心运动滑出。

综上所述，教师在讲解圆周运动中的临界问题时，首先要让学生建立物理模型，其次就是让线速度或角速度渐近变化，在渐进过程中找到需要的和提供的向心力之间的关系，从而找到边界。