利用角的平分线的性质解探索型问题
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我们知道，角的平分线有两个重要的性质：（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
例1如图1，分别以ABC的边AB、AC为边向三角形外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O.试探索∠AOD与∠AOE的关系.
分析：若能说明AO平分∠DOE，即可知道∠AOD = ∠AOE.要证明AO平分∠DOE，由角的平分线的性质，只需证明点A到BE、DC的距离相等.为此需作AFCD于点F，AGBE于点G，即证AF = AG.易证ABE≌ADC，由全等三角形的对应高相等可知AF = AG，得证.
解：猜想∠AOD = ∠AOE.证明过程如下：过点A作AFCD于点F，AGBE于点G.
ABD和ACE都是等边三角形，
AB = AD，AE = AC，∠CAE = ∠BAD = 60O.
∠BAE =∠DAC. ABE≌ADC（SAS）.
AF = AG（全等三角形的对应高相等）.
AO是∠DOE的角平分线，即∠AOD = ∠AOE.
说明：在解答本题时，我们可以先通过观察图形，然后猜想∠AOD = ∠AOE，这样我们就有了明确的目的――证明∠AOD = ∠AOE.
例2如图2，EG，FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G. PB，PC分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P. F、C在AN上，B、E在AM上.试探索∠P与∠G的关系.
分析：已知条件中出现四条角平分线，为了能充分运用角平分线定理，我们分别过点G和点P向角的两边引垂线，这样就可先将∠G，∠P表达出来，再求∠G与∠P的关系.
解：过点P作PHBM于H，PKCN于K，PQBC于Q，过点G作GDEM于D，GJFN于J，GIEF于I.
PB，PC分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，PH = PQ = PK.
易证得∠HPB =∠QPB，∠KPC =∠JPC. ∠BPC = ∠HPK.
又∠AHP =∠AKP = 90O，
∠HPK = 180O∠A，即∠BPC = ∠HPK = 90O∠A.
同理∠EGF = ∠DGJ = 90O ∠A.
∠BPC = ∠EGF，即∠G =∠P.
说明：本题的解法与例1类似.
例3 如图3，ABC中，∠ABC = 100O，∠ACB = 20O，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD = 20O.试猜想DE与CB的位置关系，并证明你的猜想.
分析：显然可以猜想到DE∥CB.若能求得∠ADE的度数是20O，就可利用同位角相等，判定DE∥CB.虽然已知∠ABC = 100O，∠ACB = 20O，∠CBD = 20O，但难以充分运用.考虑CE是∠ACB的角平分线，可过点E作ENCA，EPCB，垂足分别为N、P.由题中条件容易求得∠ADB = 40O.若能证明DE是∠ADB的角平分线，那么∠EDB=∠ADE=∠ACB.故要证DE∥BC，只需证DE是∠ADB的角平分线.我们可求得∠ABP = 180O∠ABC = 80O =∠ABD，即BE是∠PBD的角平分线.此时可作EMBD于M，则有EP = EN = EM，则有DE是∠ADB的角平分线，得证.
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