二次函数问题的解题思想与策略

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二次函数章节在整个初中阶段数学学科知识体系中所占据的地位和作用十分显著和重要，通过对二次函数概念、图象性质、表达式的表示、抛物线的性质等方面内容以及相关问题案例的探析解答活动，数形结合、分类讨论、化归转化以及函数方程等解题思想在该章节问题案例教学中有着广泛深刻的运用，并对初中生良好解题思想策略的培养提供了载体和平台.本人现结合二次函数章节内容教学，简要对数形结合、分类讨论、化归转化以及函数方程等解题思想在二次函数问题解答的运用进行简单论述.

一、运用数形结合解答二次函数章节问题

“数形结合百般好，隔裂分家万事非.”数形结合思想抓住了数学学科数学语言的抽象性和平面图形的直观性特征，通过“数”“形”互补，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.通过对二次函数章节内容的整体研析发现，二次函数章节知识点的抽象内容，通过图象的直观画面进行展示，同时借助图象反映出来的性质内容，进行二次函数问题的有效解答，达到变繁为简，优化解题途径的目的.

图1问题1：有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m.水位上升3 m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10 m.若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？

在该问题的教学活动中，如果单纯对问题条件内容进行分析，学生在理解抽象性的数学语言符号时，解决问题就有一定的难度.此时，教师利用数形结合的解题思想，根据问题条件内容，采用“以形补数”的形式，做出如图1所示的图形，这样，学生可以借助于图形的直观性和语言的精确性等特性，在对问题条件及解题策略的分析和找寻中变得更加“简便”、“易行”.

二、运用分类讨论解题思想解答二次函数章节问题

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，本质就是“化整为零，积零为整”，增加题设条件的解题策略，它能够有效提升学生思维活动的严密性、科学性和全面性.在二次函数问题案例教学中，分类讨论的解题思想有着深刻的运用.如在确定二次函数一般式y=ax2+bx+c图象与x轴的交点个数时，就运用到了分类讨论的解题思想：Δ=b2-4ac，当Δ>0时，二次函数一般式图象与x轴交于两点；当Δ=0，图象与x轴交于一点；当Δ

图2问题2：如图2所示，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别是（6，0），（6，8），动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒一个单位的速度前进，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP垂直于BC，交AC于点P，连结MP，设运动时间为t秒.（1）求点P的坐标；（用含t的字母代数式表示）；（2）试求MPA的面积最大值，并且求此时t的值；（3）请你探究：当t为何值时，MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的探究成果.

分析：上述问题案例的第三小问题的解答过程中，实际就是蕴含了分类讨论的解题思想，需要对MPA的三边情况分类讨论，分别确定当MP=PA时、PA=AM时以及MP=AM时的三种情况下，t的取值范围.

三、利用函数特性，运用函数方程解题思想解答二次函数章节问题

二次函数章节作为函数教学的重要组成部分，它不仅是一次函数、反比例函数的有效延伸，更是三角函数、指数函数等高中阶段函数知识的有效基础.同时，通过对二次函数章节内容的整体分析，可以发现，二次函数与一元二次方程、二元一次不等式之间有着密切的联系.在解答该类型问题中，教师可以渗透函数方程解题思想策略进行解答问题活动.

问题3：设关于x的方程 x2-mx+4=0在[-1，1]上有解， 求实数m的取值范围.

分析：令f（x）= x2-mx+4 ，则问题转化为抛物线f（x）= x2-mx+4 与x数轴在x∈[-1，1]上有交点的问题，将方程的问题转化为函数图象问题来解决的可将m看成x的函数.因为x≠0，所以有m=x+4/x，问题转化为求函数的值域问题.

解：因为 x ≠0，所以m=x+4/x此函数显然是奇函数，易证函数 m 在（0，1]上为减函数.所以当x∈（0，1]时，在x =1 函数有最小值，m小=1+4=5，m∈[5，+∞）同理，当x∈[-1，0]时，在x=-1时，函数有最大值，m大=-5 ，m∈（-∞，-5].

故实数m的取值范围为（-∞，-5]∪[5，+∞） .

问题4：若 x、y∈R且（2x+y）13+x13+3x+y

证明：将条件化为（2x+y）13+（2x+y）

令 f（t）= t13+t， 则有f（2x+y）

又 f（t）为奇函数 ，f（-x）= -f（t）

所以 f（2x+y）

所以2x+y

评析：将方程的问题转化为函数图象或函数值域问题，可使方程问题迎刃而解.其中利用函数值域问题求解则更为简捷.

四、运用化归转化思想 解答二次函数章节问题

化归与转化的思想，就是借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想，是中学数学最基本的思想方法，运用原则主要是化难为易、化生为熟、化繁为简、等价转化.在二次函数问题案例教学中，学生解答现实生活性的二次函数问题时，就要运用转化的思想，将现实问题转化为关于二次函数的数学问题；又如，在解答“已知二次函数过点A （0，-2），B（-1，0），C（54，98）.求此二次函数的解析式；判断点M（1，12）是否在直线AC上？”这一类问题时，教师就可以引导学生抓住二次函数与一元二次方程之间的关系，将二次函数问题案例转化为关于一元二次方程的问题案例进行解答.