以退为进 正难则反
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇以退为进 正难则反范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
王国维说：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外……入乎其内，故有生气；出乎其外，故有高致.”推理与证明的学习能够让我们更好地“入乎（数学）内”，又“出乎（数学）外”，可以更好地学习数学、更全面地理解数学.
以往我们学习数学，侧重于学习知识，《推理与证明》这一章，则以学习思维方法为主，且本章学到的类比、归纳、分析法以及反证法等方法，不只适用于数学问题的解决.因此，一方面，“入乎（数学）内”，通过具体案例的解决，理解、感悟思想方法，体验、反思思维过程，进一步提高数学素养和数学能力；另一方面，“出乎（数学）外”，将这些思维方法尝试用于思考其他学科或日常生活中的问题.本文限于篇幅，只谈及第一方面的推理策略，请同学们平日多留心以数学的眼光、思维观察、思考百科与生活.
一、 类比：退中求真
著名教育家、数学家波利亚说：“没有这些思路(普遍化、特殊化和类比),特别是没有类比,在初等或高等数学中也许就不会有发现.”类比是根据两个对象或两类事物的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种思维方式.类比的关键是找到两类事物间可以进行类比的“支点”―相同、相似或相近的性质.常见的类比都是以退求进，使问题简单化、明朗化，如结构类比、升维类比、概念类比等.
例1 在DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF・EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABCA1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
【过程分析】 平面与空间问题的类比，通常可将二维对象的某些结论升到三维相应的对象，就是“借低维的鸡，生高维的蛋”，抓住如下几何要素的对应关系作“升维”：如
线段长面积，边面，平面角二面角，面积体积，直线平面，三角形四面体，矩形长方体，等等.
类比猜想得出S2AA1C1C=S2ABB1A1+S2BCC1B1-2SABB1A1・SBCC1B1cosθ.其中θ为侧面ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角.证明从略.
二、 归纳:特殊中见一般
这里主要讨论不完全归纳.不完全归纳的步骤一般是，首先观察特例，发现特例的某些相似性（规律），然后，把这种相似性推广到一般（猜想），最后根据需要对猜想进行特例检验或证明.
例2 设S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120092+120102，则不大于S的最大整数［S］等于( )
A 2008
B 2009
C 2010
D 3001
【过程分析】 首先把题读懂，明白定义的一个新符号［S］，关键是“求和”.没有公式可以直接使用，也没有现成的方法.不能模式化地解决！退.不能求所有项的和，前1、 2、 3项的和还是可以的.从最简单的开始，退到最简单而保持问题本质的形式.先算出第一项1+112+122=94=32，再算出第二项1+122+132=4936=76，试一下，32=1， 32+76=83=2，特例体现的规律性很明显，推广到一般，猜想答案是B.为了增加信心，再演算一项1+132+142=169144=1312， 83+1312=154=3，对自己的判断更多一份自信！
当然，也可以退回到前几项的数字特征，归纳出通项形式：an=1+1n2+1(n+1)2=［n(n+1)+1］2n2(n+1)2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n(n+1)=1+1n-1n+1.下面再加和就可以得到答案.
例3 观察下列等式：13+23=32， 13+23+33=62， 13+23+33+43=102， …，根据上述规律，第五个等式为 .
【过程分析】 观察整体：等式；局部：左侧项数、底数、幂指数，右侧底数、幂指数.分解以后每个局部的规律就很清晰.第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边3， 6， 10， …，为1+2+…+（i+1）的平方.所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.归纳的重点在观察，观察要以熟练的基础知识掌握为背景，如常见的等差、等比数列、平方数列等，观察还要遵循一定的程序：整体―局部―整体，通过分解、组合更容易发现规律.
三、 分析法:步步为营
证明的常用方法“显示”的是综合法，但是，如何想到那样证明呢？综合法的背后一般有分析法的支撑，即执果索因.分析法相对综合法，不仅是形式上的以退为进，整个思路上也是广义的以退为进.当然，当综合法难以为继则用分析法帮忙，而分析法推理过程中也需要联系已知条件，两种方法要和谐共处共同发挥作用.
例4 求证：12+13+…+1n+1＜ln(n+1)＜1+12+…+1n.
【过程分析】 不妨先看右边的不等式ln(n+1)＜1+12+…+1n（*）.（*）左、右是“一对多”的形式，首先想到的是右边求和化“一”，只是没有办法实现.既然右边不能化“一”，左边一项能不能化成n项和？这样左、右均衡，变成“一对一”的比较问题.如何把一项化成n项和呢？把ln(n+1)看成一个数列an的前n项和，n≥2时，an=Sn-Sn-1=ln(n+1)-lnn=ln1+1n， n=1时，a1=S1=ln2，也符合，所以an=ln1+1n，故要证明（*），只要证明ln1+1n＜1n.令t=1n (0＜t≤1)，只要证明ln(1+t)＜t (0＜t≤1).记f(t)=ln(1+t)-t (0＜t≤1)，只要证明0＜t≤1时f(t)＜0.而f′(t)=11+t-1=-t1+t＜0，即函数f(t)在（0, 1］上单调递减，f(t)＜f(0)=0.得证.类似地，要证明12+13+…+1n+1＜ln(n+1)，只要证明ln1+1n＞1n+1，令t=1n (0＜t≤1)，只要证明ln(1+t)＞1-11+t (0＜t≤1)，下面同样利用导数证明即可.
【说明】 本题的背景是：当n充分大时，1+12+…+1n与对数函数lnn的值相当，数学家欧拉得出，当n趋于无穷大时，两者的差是一个常数，约为0.5772，称为欧拉常数.
四、 反证法:正难则反
当问题以否定型、任意型、至多、至少型、唯一型命题等出现，证明时有一种“无处下手”、“有理说不清”的感觉，这往往是利用反证法的“信号”，正面困难就从反面解决问题，即证明命题“若P，则q”的否定“若P，则
”，如“至少存在”的否定是“必定不存在”，“任意型”的否定是“存在”，这样证明的问题会由抽象而具体、由否定而肯定，达到由难化易的目的.
例5 如图2，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M， N分别为AB， DF的中点.
（Ⅰ） 若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；
（Ⅱ）证明：直线ME与BN是两条异面直线.
【过程分析】 （Ⅰ）的求解相对简单，MN与平面DCEF所成角的正弦值为63；(Ⅱ)中证明一对直线为异面直线，需要证明这对直线不同在任何一个平面内.直接证明很难表述，而其否定只有一种情况，所以采用反证法.
首先反设：假设直线ME与BN共面，
然后归谬：由假设知AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF.又AB//CD，所以AB//平面DCEF.因为EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB//EN.又AB//CD//EF，所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立.
最后，存真：所以ME与BN不共面，它们是异面直线.