对高中数学思维理念的认识

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浙江湖州第二中学 313000

摘要：在高中数学新课程改革中，数学的思维理念是数学文化的精髓. 如何培养学生正确的数学思维理念是数学教学的重中之重. 本文试从几个角度来阐述高中数学中数学思维理念的各种表现形式及教学意义，从而深刻挖掘隐含于其中的教学功能.

关键词：思维；理念；认识；文化

数学的思维理念是数学文化的精髓. 理念亦称观念，是看法、思想、思维活动的结果，是理性的概念. 在从事高中数学教学的这几年里，尤其是近年来新课程的全面展开，笔者对数学的思维理念有一些体会，在此愿意将这些体会总结出来，与大家交流、分享，以提高我们对数学文化的认识.

[⇩]“演绎与推理”的过程

数学是用演绎与推理的理念来论证概念间转换的恒等变化，从中准确、完整、简洁地揭示由条件到结论的严密逻辑关系及充分与必要的因果本质. 在新课程中增加了“演绎与推理”的内容，从数学文化的角度来讲，就是体现了一种数学理念的渗透. 缺乏演绎与推理的人，往往会犯一些“想当然”的错误，也就是凭主观想象来判断和处理问题，其结果也往往事与愿违，得不到正确的结果与判断. 比如说下面的一个例子.

例1 假设我们可以沿地球赤道紧紧地拉一根绳子并将绳子打上结，此时，绳子的长度与赤道相等. 然后把绳子剪开，加长10 m，这样绳子已不紧扣在赤道上，产生了缝隙. 则该缝隙有多大？

解析 如果光凭主观想象去猜测，也许很多人会认为：赤道那么长，加长10 m算不了什么，恐怕伸一只手过去都困难，似乎只能塞一张纸过去，差不多可以忽略不计. 那么我们不妨来推理计算一下.

设地球赤道长为L，地球半径为R，缝隙为ΔR，则有

L=2πR， ①

L+10=2π（R+ΔR）. ②

由②-①得10=2πΔR，即ΔR=≈1.59（m）. 实际结果是缝隙居然有1.59 m之大，大多数小学生都可以从缝隙中走过去.

点评在新课程教材中，“演绎与推理”主要强调“三段论”，这是为了防止学生在演绎与推理的过程中犯主观想象的错误. 在“三段论”中一定要保证“大前提”与“小前提”都正确，这样“结论”才会正确. 做人处事也是这样，“想当然”地猜测别人或做事，会很难与人相处好或把事情做好.

[⇩]“常量与变量”的区分

对于一个未知量的变化属性，数学上有清晰的界定，即在某一模型或某一变化过程中，不发生变化的量称为常量，发生变化的量称为变量. 在这个理念中，很容易辩证地把未知量的内在属性与它所处的外在环境结合在一起. 然而，在实际应用中，要特别注意“模型”“变化过程”等外在环境状态，不能将未知量的变化属性绝对化. 在不同状态下，要特别注意未知量的属性是常量还是变量.

例2 已知f（x）是定义在［-1，1］上的奇函数，且f（1）=1，当m，n∈［-1，1］，m+n≠0时有>0.

（1）用定义证明f（x）在［-1，1］上是增函数.

（2）解不等式 f

x+< f

.

（3）若f（x）≤t2－2at+1对所有x∈［-1，1］，a∈［-1，1］恒成立，求实数t的取值范围.

解析 第（1）、（2）问略. （3）由（1）的结论可知， f（x）在［-1，1］上是增函数，而且f（1）=1，所以对x∈［-1，1］，恒有f（x）≤1. 要求f（x）≤t2－2at+1对所有x∈［-1，1］，a∈［-1，1］恒成立，首先我们固定a，即把a看成是常量，把x看成是变量，因此我们可以得到t2－2at+1≥1，即t2－2at≥0. 然后我们构造函数g（a）=t2－2at，其中a∈［-1，1］. 在这里我们又把a看成了变量. 对所有a∈［-1，1］，都有g（a）=t2－2at≥0恒成立，等价于g（-1）≥0且g（1）≥0，于是可得到实数t的取值范围为：t≤－2或t=0或t≥2 .

上面的问题很好地说明了常量与变量的理念，内在属性与外部条件的辩证关系. 所以，未知量的属性不是绝对的. 如果在解题过程中，不考虑未知量所处模型的不同，将其看成绝对的变量或绝对的常量，就会得不到正确的结论.

在社会生活中，人们所处的环境不同就会有不同的规则. 应如何区分“灵活性”与“原则性”的界限，把握好其中的度？常量与变量的理念也许会给我们带来一些启示.

[⇩]“分解与复合”的方法

复杂的数学问题其实都是由一些简单的问题复合而成的，解题时要善于将复杂的问题分解成若干个简单的问题，这样才能一步步找到求解的方法.

例3（2006山东高中数学预赛）中国男子篮球甲级联赛的规则是：每场比赛胜者得2分，负者得1分（每场比赛，即使通过加时赛也必须分出胜负）. 某男篮甲级队实力强劲，每场比赛获胜的概率为，失利的概率为. 求该队在赛程中通过若干场比赛后获得n分的概率（设该队这一赛季的全部比赛场次数为S，这里0

解析 此问题是由概率和数列复合而成的一个综合性问题. 解决此问题时，我们可以试图将问题进行分解. 首先考虑概率问题. 设经过若干场比赛后，该队获n分的概率为Pn，则由题意可知P1=，P2=P +=，当n≥3时，Pn=Pn-1+・Pn-2（3≤n≤S）. 然后考虑数列问题. 通过上述关于数列｛Pn｝的递推关系可求｛Pn｝的通项公式. Pn=Pn-1+Pn-2等价于Pn－Pn-1=－（Pn-1-Pn-2），因此我们构造了一个等比数列｛Pn-Pn-1｝，其首项为P2－P1=，公比为－，所以Pn-Pn-1=

－n-2=

－n. 这仍然是一个关于数列｛Pn｝的递推关系，运用“累加相消法”就可以得到｛Pn｝的通项公式.

点评这里，我们可以看到一个复杂问题经过分解而求得答案的过程，其实这个过程就是一些基本问题解决过程的累加.

凡是复杂的事情都是由一些简单的事情复合而成的. 能否将复杂的事情分解成若干个简单的事情来做，是一个人能力高低的表现；能否将一些简单的事情复合成复杂的、高级的事情，需要的是创新思维. 所以，分解与复合的理念提供了处理复杂问题与简单问题之间的最佳思维路径.

[⇩]“归纳与反证”的应用

归纳是指由个别到一般的思维观念. 在数学中，它指的是由一些例题的解法总结出一类问题的一般解法或公式，或者通过一些具体数据的计算结果导出一般的递推公式或数学规律. 它是通过考查一类事物的全体对象，从而肯定它们都具有某一属性，进而归纳出这类事件都有这一属性. 在高中数学新教材中就特别介绍了“归纳推理”方法. 应用归纳推理方法可以发现新事实，获得新结论，可以为我们提供研究的思路与方向. 法国数学家拉普拉斯说过“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳与类比”，但归纳所获得的结论仅仅是一种猜想，未必可靠，要证实就必须给出严密的演绎推理过程. 比如下面一个简单的数列问题.

例4 已知数列｛an｝的前四项是a1=1，a2=，a3=，a4=，请说出这个数列的通项公式.

我们可以通过前四项的数据猜想它的通项公式为an=，但其实我们知道这个数列的通项公式不唯一. 如果将问题表述成如下形式：

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例5 已知数列｛an｝的第1项a1=1，且an+1=（n=1，2，3，…），请说出这个数列的通项公式.

我们可以根据已知的递推公式，算出数列的前四项分别为a1=1，a2=，a3=，a4=，于是可以猜想它的通项公式为an=. 当然这个猜想是正确的，我们可以用“演绎与推理”进行证明.

反证法常常是解决疑难问题的有力工具. 英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“……归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明. 象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”

例6 求证是无理数.

证明 假设不是无理数，那么它便是有理数. 于是，存在互质的正整数m，n，使得=，从而有m=n . 因此有m2=2n2. 所以m为偶数. 于是可设m=2k（k是正整数）. 从而4k2=2n2，即n2=2k2，所以n也为偶数. 这与m，n互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数.

要证明一个命题不成立，从方法上讲很简单，只要找到一个“反例”即可. 但有时候寻找反例也不是一件简单的事. 一个命题，如果找不到一种方法证明其正确，也找不到一个反例证明其不正确，但它在有限的范围内可以验证是正确的，数学上将其称为“猜想”. 比如对于著名的“费马猜想”，经过半个世纪，善于计算的欧拉才发现第5个费马数不是质数，从而了费马的猜想. 也就是说，欧拉举出了一个“反例”了“费马猜想”的正确性. 而著名的“哥德巴赫猜想”至今仍有待人们去探索其正确性.

总之，归纳与反证的理念为我们提供了用正向与逆向思维去总结事物规律的有效方法.

[⇩]“示例与类比”的启示

一个好的“示例”可以打开思路，而正确地应用运算方法，准确地理解概念的含义，将会起到意想不到的效果.

例7（2008湖南）已知函数f（x）=ln2（1+x）-.

（1）求函数f（x）的单调区间.

（2）若不等式

1+n+a≤e对任意的n∈N+都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值. （详细解答略）

此类问题是考查导数应用很好的示例. 通过构造函数进行多次求导，利用求导判断函数的单调性，然后运用变量分离法求变量最值的方法也是高中数学中常用并且是非常重要的方法之一. 我们要求学生在示例的指导下能够很好地运用这种思想方法处理有关函数的问题.

“类比”是用熟悉的东西去类比新的、不熟悉的问题，在不失真的前提下，尽量用简单的、具体的事例代替复杂的、抽象的问题. 当某种数学关系难于理解与接受时，“类比”往往是一个很好的工具.

例8 “充要条件”的讲解. “判断A是B的什么条件”一直是学生学习的难点. 学生对“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”往往只限于识记，而没有从意义上去理解. 因此，我们可以通过这样一个情境来类比：若“开关A闭合”为条件A，“灯泡B亮”为条件B，下面的电路图中，开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？

[A][C][B]

图1

[A][C][B]

图2

[A][B]

图3

[A][B]

图4

解析 图1中，开关A闭合时灯泡B必定亮，但灯泡B亮时开关A未必闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；图2中，仅仅开关A闭合时灯泡B不亮，但灯泡B亮时开关A必定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；图3中，开关A闭合时灯泡B亮，灯泡B亮时开关A必闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；图4中，开关A闭合与灯泡B亮没有任何关系，所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件.

在社会活动中，人们常常会碰到一些不熟悉的事情，研究不熟悉问题的方法是将其熟悉化，而示例与类比的理念就是凭自身的经验，以熟悉的事物为参照，认清不熟悉事物的核心部分，模拟问题的实际状况.

[⇩]“具体与抽象”的转换

数学的一切理论都是由具体到抽象的思维活动的产物. 数学抽象是一种特殊的抽象，具体表现在以下4个方面. 内容的特殊性：数学抽象是抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其他一切. 方法上的特殊性：数学抽象是一种构造性的活动，是借助定义和推理进行的逻辑建构. 程度上的特殊性：数学中的大部分研究对象是在抽象对象（即对于真实事物的直接抽象）之上再抽象的结果，即由相对初级概念逻辑抽象或定义出新的抽象度更高、更加公式化的概念. 语言上的特殊性：为了表述一个抽象的概念或复杂的运算，不能以普通的自然语言形式存在和被描述，数学语言（包括数学符号）要比自然语言简洁和明确得多. 符号越多，数学就越加抽象，越加形式化、规范化.

例如，我们在新课程中学习的“导数”就是来自从“具体”到“抽象”的过程. 牛顿、莱布尼兹从“切线的斜率” “变速直线运动的瞬时速度”等实际问题中，抽象出导数f′（x）的定义，在此基础上再次抽象出导数的运算法则，从而用数量的关系对函数在某个区间内是单调增（f′（x）>0）、单调减（f′（x）1）、或慢（f′（x）

具体与抽象的转换可以很好地引导人们从感性认识到理性认识，从理性认识到规律形式，从规律形式到指导行动.

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