纵向挖掘 横向延伸

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我们在小学阶段已经认识了长方体、正方体、圆柱和圆锥，并且会求它们的表面积与体积. 这些几何体还蕴含着很多的数学知识，《丰富的图形世界》一章中我们将主要学习生活中常见的几何体的形状、展开与折叠、截面图及三视图等知识. 本章内容在中考中占有一定的比重，同学们应予以重视.

一、 几何体的分类

例1 如图1，将下列几何体分类，并说出分类的依据.

【分析】分类时要确定分类的标准，并做到不重不漏. 分类的标准不同，结果也不同.

解：按柱、锥、球划分. 柱体：（1）、（3）、（4）、（5）、（7） ；锥体：（2）；球体：（6）.

按组成面是曲面或平面划分. 全由曲面组成：（6）；全由平面组成：（3）、（4）、（5）、（7）；既有曲面又有平面：（1）、（2）.

按有无顶点划分. 有顶点：（2）、（3）、（4）、（5）、（7）；无顶点：（1）、（6）.

【点拨】此题意在发散思维，培养大家灵活多变、一题多解的能力. 此题还采用了分类的数学思想，同学们要掌握每一类几何体的特征，找出共性，选取不同的分类标准将得到不同的组合，注意同一问题中分类标准要一致.

二、 平面与几何体的截面

例2 用一个平面去切正方体，会得到哪些截面图形？

【分析】在初次解这类题时，可用橡皮泥制作一个正方体，用小刀动手切切看，再作答.

解：能截出四种截面图形：三角形、四边形、五边形、六边形. 具体图形见图2.

【点拨】“化空为实”，把复杂空间问题转化为眼手能及的实验操作. 注意考虑问题要全面，不要遗漏. 明确用平面去截几何体，所得的截面是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形. 按边的顺序逐个截出多边形. 因为正方体只有六个面，所以得到的截面最多只有六条边，即最多为六边形.

三、 几何体的展开与折叠

例3 如图3，是一些几何体的平面展开图，试说出这些几何体的名称.

【分析】根据几何体展开图的形状，联想围成的立体图形，通过综合比较，想象出立体图形. 也可用折叠的方法将展开图还原，再判断其名称.

解：（1） 圆柱 （2） 六棱柱 （3） 四棱锥 （4） 圆锥 （5） 三棱柱 （6） 五棱锥

【点拨】动手操作是解决此类问题的最佳手段，通过实际操作，逐步培养空间想象能力. 正确判断一个几何体的表面展开图，除了要掌握常见几何体的特征，还要多观察、多动手、多动脑.

四、 利用展开图解决实际问题

例4 如图4（1），一只蚂蚁从圆柱上的点A绕圆柱一周，爬到点B，你能画出它爬行的最短路线吗？

【分析】在平面上，两点之间线段最短，如何画出圆柱上表示点A绕圆柱一周到点B的最短路线呢？只需将点A、点B转化到同一平面内即可解决问题了. 将立体图形展开成平面图形，连接AB′. 如图4（2）.

解：沿圆柱上的线段AB剪开得到一个长方形，点B与点B′是圆柱上的同一点，连接AB′. 线段AB′为蚂蚁爬行的最短路线.

【点拨】在研究立体图形表面上两点之间的最短路线（距离）问题时，往往是先把立体图形展开成平面图形，再根据“平面内两点之间线段最短”的性质解决. 在平面图形上问题会变得简单，解决此类题的关键是明确有关图形展开前后的对应关系.

五、 判断几何体的相对面

例5 图5是一个几何体的展开图，每个面内都标注了字母，请回答下列问题：

（1） 如果面A在几何体的底部，那么哪一个面在顶部？

（2） 如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一个面会在顶部？

（3） 从右面看是面C，面D在后面，那么哪一个面会在顶部？

【分析】这是一个长方体展开图，共6个面，根据所处的面可知，面A和面F相对，面C和面E相对，面B和面D相对. 在（1）中，面A在底部，面F在顶部；在（2）中，面F在前面，面B在左面，那么面A在后面，面D在右面，面E在底部，面C在顶部；在（3）中，面C在右面，面E在左面，面D在后面，面B在前面，面F在底部，面A在顶部.

解：（1） 面F （2） 面C （3） 面A

【点拨】此题考查了同学们对立体图形与它的平面展开图之间的关系的掌握程度. 解答时，注意寻找各面之间的内在联系，并加以想象、推理后得出结论.

六、 根据俯视图中正方体的数字确定另外两个视图

例6 如图6，是由几块完全相同的小正方体搭成的立体图形的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数. 请你画出它的主视图和左视图.

【分析】方法一：实际操作，先按条件摆出几何体，画出它的主视图和左视图.

方法二：俯视图中分左中右三列，从左到右每列中最大的数分别为2、1、4，因此对应的主视图共有三列，第一列画2个正方形，第二列画1个正方形，第三列画4个正方形. 俯视图中分上中下三行，从上到下每行中最大的数分别为1、2、4，因此对应的左视图共有三列，第一列画1个正方形，第二列画2个正方形，第三列画4个正方形.

解：如图7.

【点拨】由俯视图确定主视图、左视图的列数及每列方块的个数，细心观察可得如下规律：

①主视图和俯视图的列数相同，且每列的方块数是俯视图中该列的最大数字. ②左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列的方块数是俯视图中该行的最大数字.