运用“割补法”确定任意多边形的重心
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《中学数学杂志》2009年第2期刊出了唐兴东老师的《重心与图形面积平分问题》(以下简称文[1])一文之后,在第6期又刊出了邵亚明老师的《“重心与图形面积平分问题”的商榷》(以下简称文[2])和钟拥政老师的《也谈图形平分问题与探求重心》(以下简称文[3])两篇文章,对重心与面积平分问题进行了研究与思考.文[2]、文[3]对文[1]中研究的问题,提出了自己的不同观点,做了一些新的思考.笔者研读之后,有一些想法与思考,与邵老师、钟老师商榷,与同仁交流,不当之处请批评指正.
1 观点回顾
文[1]对利用割补法作任意多边形(包括凹多边形)重心的表述如下:确定多边形的重心,可以先将图形分割或填补成两部分,然后分别作出它们的重心,再过两重心作一直线,重心一定在这条直线上;尔后,换一种分割或填补的方法,用同样方法再作一直线,两直线的交点就是这个任意多边形的重心.
文[2]对文[1]阐述的“任意多边形(包括凹多边形)重心的做法――割补法.”提出了质疑.文[2]的观点是:文[1]中提到的利用割补法作任意多边形(包括凹多边形)的重心的方法(即利用面积平分线确定多边形重心的方法)没有理由.并以三角形为例进行了说明.
文[3]对“怎样确定平面图形的重心”提出:探求平面图形的重心,首先要探求出能将平面图形面积两等分的两条直线,这两条直线的交点就是平面图形的重心.
2 观点商榷
显然,文[2]曲解了文[1]表述的利用割补法作任意多边形(包括凹多边形)重心的方法.而文[3]对这个问题的观点有失一般性.
2.1 两条面积平分线的交点不一定是平面图形的重心
三角形的重心是它的三条中线的交点,而三角形的中线可将三角形面积平分,所以对于三角形来说,两条面积平分线的交点是其重心是成立的.但并不是所有平面图形的重心都可以这样确定,如图1是将一矩形的右上角剪去一个小矩形后所得图形,根据中心对称图形的相关性质,可得其面积平分线A1B1(如图2所示)、A2B2(如图3所示).根据全等三角形的面积相等,可知过A1B1的中点O1的分割线C1D1、过A2B2的中点O2的分割线C2D2也都能将该图形面积平分.点O1、O2在图形中的位置显然不同,若两条面积平分线的交点是平面图形的重心,则O1、O2均是图形的重心,即图1有两个重心.这与重心概念产生矛盾,因此,两条面积平分线的交点不一定是平面图形的重心.
2.2 从“数理结合”的角度分析文[1]中的“割补法”
重心也是个物理概念(一个物体的各部分都要受到重力的作用,从效果上看,我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点,这一点叫做物体的重心).并指出:质量均匀分布的物体(均匀物体),重心的位置只跟物体的形状有关.有规则形状的物体,它的重心就在几何重心上.例如,均匀细直棒的中心在棒的中点,均匀球体的重心在球心,均匀圆柱的重心在轴线的中点.不规则物体的重心,可以用悬挂法来确定物体的重心,但不一定在物体上.
义务教育课程标准实验教科书•浙教版和人教版《数学(八年级下册)》均分别就“重心”这一数学与物理的共同研究对象设置了课题为《简面图形的重心》和《重心》的课题学习,对重心分别有如下的描述:作用于物体的各部分的重力,可以看做一个大小等于各个重力总和的力作用于物体的某一点,这一点就叫做物体的重心;在一块均匀的木板上,例如四边形木板,我们可以找到一个点,如果用一个手指顶住这点,木板会保持平衡,这个平衡点就是这块木板的重心,也是这个四边形的重心.
预备知识:
1.均匀的木板指厚度均匀且质量均匀分布的木板.作用于均匀的木板各部分的重力比就等于各部分的质量比;质量均匀分布时,各部分的质量比就等于各部分的体积比;厚度均匀时,各部分的体积比就等于各部分
忽略厚度所对应平面图形的面积比.所以,作用于均匀的木板各部分的重力比等于它们所对应平面图形的面积比.
2.杠杆平衡原理:动力×动力臂=阻力×阻力臂.即F1•OA=F2•OB.(如图4、图5)
结合以上数学和物理知识,我们可以做以下的分析与思考:
将一块均匀的木板分割成两部分,两部分所受到的重力比等于它们所对应平面图形的面积比,且分别作用在两部分的重心上.在两重心连线上选择一个支点,使两重心到支点的距离之比等于两部分重力的反比(即所对应平面图形的面积的反比).根据杠杆平衡原理可知木板平衡,该支点就是这块木板的重心,也是这块木板所对应平面图形的重心.
由此可见,先将一任意平面图形分割成两部分,然后分别作出它们的重心,再过两重心作一直线,重心一定在这条直线上.换一种分割的方法,用同样方法再作一直线,重心亦在其上,此两直线的交点就是这个任意平面图形的重心.
根据力学分析可知:将一木板裁掉一部分之后,其受力情况相当于原木块在受到重力的同时,被裁掉的部分还受到一个与该部分重力方向相反,且大小相等的力.在裁掉部分的重心与原木块重心连线的延长线上选择一支点,使两重心到该支点的距离之比等于它们所受到的重力的反比(即所对应平面图形的面积的反比).根据杠杆平衡原理可知裁减后的木板平衡,该支点就是裁减后木板的重心,也是其所对应平面图形的重心.
由此可见,先将一任意平面图形填补成两部分,然后分别作出它们的重心,再过两重心作一直线,重心一定在这条直线上.换一种分割或填补的方法,用同样方法再作一直线,重心亦在其上,此两直线的交点就是这个任意平面图形的重心.
因此,文[1]中所描述的“确定平面图形重心的方法――分割法”可以探求出任意平面图形的重心.
3.1 运用“割补法”确定四边形的重心
例1 已知:如图6,四边形ABCD,求作四边形ABCD的重心.
作法:1.连结AC、BD;
2.分别作出ABC、BCD、CDA、DAB的重心G1、G2、G3、G4;
3.作直线G1G3、G2G4;两直线交于点G.
所以,点G就是四边形ABCD的重心.
例2 已知:如图7,凹四边形ABCD,求作凹四边形ABCD的重心.
作法:(同上例)
说明:两例作法第2步根据“三角形的重心是它的三条中线的交点.”作出三角形两条中线,它们的交点就是三角形的重心.因作图中线条太多,图6、图7中没有呈现所有作图的线条.
由例1与例2重心的位置可见,多边形(包括凹多边形)的重心可能在图形上,也可能不在图形上.
观察图6、图7得:两条重心连线所在直线与原四边形的两条对角线位置关系很特殊,似乎有平行关系.可用下面的推理验证:[TS(][JZ][HTK]图8图9[TS)]如图8,因为点G1、G3分别是ABC、CDA的重心,根据三角形重心的性质,可得BG1G1E=DG3G3E=21,所以G1G3∥BD.同理,另一条重心连线与另一条对角线也平行.同样的方法,也可证明凹四边形ABCD也具有这一特点.
因此,四边形中一条对角线分得的两个三角形的重心连线平行于另一条对角线.
利用这条性质可以简化画四边形ABCD(如图9)重心的步骤.
画法:1.连结AC、BD;
2.取BC的中点E,连结AE、DE;
3.在AE、DE上分别取点G1、G2,使AG1G1E=DG2G2E=21;
4.过点G1、G2分别画BD、AC的平行线,两线交于点G.
所以,点G为四边形ABCD的重心.
对于一个任意n边形A1A2A3A4A5A6A7…An,探求其重心,可先确定n边形被过点A1的对角线分割成的(n-2)个三角形的重心;然后确定由两相邻三角形组成的四边形(如图10中的四边形A1A2A3A4、A1A4A5A6、……)的重心;依次类推,不断[LL]由刚确定且相邻的两个图形的重心,根据它们的面积之比,确定它们组合成的新图形的重心,直至探求出n边形的重心.其中,组合成的新图形的重心,在组合前两图形重心的连线上,且组合成的新图形的重心到组合前两图形重心的距离之比等于组合前两图形面积的反比.任意凹多边形的重心已可用这样的思路与方法确定.
参考文献
[1] 唐兴东.重心与图形面积平分问题[J].中学数学杂志.2009,(2).
[2] 邵亚明.“重心与图形面积平分问题”的商榷[J].中学数学杂志.2009,(6).
[3] 钟拥政.也谈图形平分问题与探求重心[J].中学数学杂志.2009,(6).
[4] 范良火等.义务教育课程标准实验教科书•数学(八年级下册)[M].杭州:浙江教育出版社,2005,(12).
[5] 左怀玲等.义务教育课程标准实验教科书•数学(八年级下册)[M].北京:人民教育出版社,2008,(6).
作者简介 杭秉全,江苏南京人,1974年11月出生,全国优秀教师,南京市学科教学带头人,江苏省初中青年数学教师优质课评比获一等奖;开设省市级公开课、讲座16节次;2009年以来9篇.