软绳下滑问题的研究
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摘 要：该文拟讨论软绳在非光滑面上下滑过程中转角处的摩擦力是否可以忽略， 经研究发现转角虽然很小但弹力并不小，所产生的摩擦力足可以与平面相比，摩擦力做功也不小，忽略转角处摩擦力做功，计算出的速度明显比实际速度大；另外在研究光滑面上软绳下滑过程中绳的长度与速度的关系时，根据所研究问题的侧重点不同，将面视为无摩擦力的完全理想化情况，本文运用微圆法、能量守恒定律和牛顿第二定律等对问题进行深入的分析。
关键词：摩擦力 桌面 软绳 速度
中图分类号：O313 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-0035-03
软绳下滑问题是力学研究中一种比较典型的问题。软绳在下滑的问题中涉及的力学知识非常的广，其中有牛顿的三条定律（以牛顿第二定律运用最多），在物理问题中常常运用的微圆法，还有能量守恒定律等等。从中学我们就开始接触软绳问题，如软绳连接着定滑轮的问题、软绳的自由落体运动、软绳的重心等等，再到大学中我们所学的软绳的一些例子，如阿特伍德机。但我们很少单独的研究软绳的问题，本文就以软绳为研究对象，分析其在下滑过程中的一些情况。
1 软绳下滑转角处的摩擦力
1.1 软绳在光滑的桌面上下滑
例1：如图1所示，一根长为1 m软绳，一部分垂在桌沿下面，一部分放在桌面上，垂下部分最大长度0.2 m，若保持静止求其在桌面上的摩擦因数为多少；若此时稍有扰动软绳就会滑离桌面，当软绳全部滑出桌面时速度为多少（g取10 m/s2）。
解：据题对软绳受力分析，如图2、图3所示。
设软绳单位长度的质量为p，小绳的全长为s，在桌沿下的长为l，全部滑出桌面的速度为。
则有 （1）
（2）
（3）
根据能量守恒定律
（4）
，在上面的问题中没有考虑转角处的摩擦力情况，可能是考虑到转角非常的小，在此处的摩擦力所做的功可以忽略。
例2：在桌面上放着一长为L的软绳，绳的一端在通过小孔连接一个质量为M的物体，如图4所示用手拉着绳使其保持静止，然后放开让其运动。其中绳与平面的摩擦因数为m，求当绳的尾部刚好滑到小孔时的速度。
解：对绳受力分析有如图5所示。
设：软绳的单位长度质量为p，则根据为能量守恒定律有：
（5）
（6）
（7）
这一结果是运用能量守恒定律，忽略在转角处摩擦力所做的功得出的。在实际情况中有一些数据由于与所求数据相差很多，基本不影响或影响非常小，我们可以忽略不计，但对于上述问题中的转角处的摩擦力我们是否可以将其视作小量而忽略，我们引入下一个例题来证明。看其是否可以忽略转角处的摩擦力，若不能忽略，转角处的摩擦力影响是否很大？
1.2 软绳在滑轮上下滑
有一条轻绳绕在半径为R的圆柱上，绳子与圆柱间的摩擦力为，绳子与圆柱接触的圆心角为，设其一段绳的拉力为另一端为，当其平衡时与的关系（见图1）。
据题设一个小单位弧长，小单位角为，受力分析则有：
据受力分析图我们可以得到（见图7）：
（8）
（9）
（10），因为无限的趋近于0，所以有，，则有：
（11）
（12）
忽略二阶小量，整理得：
（13）
（14）
（15）
从这个习题我们可以看出在转角处的摩擦力是不能够忽略的，而且在转角处的摩擦力的作用非常的大。在实际生活中有很多证明转角处摩擦很大的实例，用一个很小的力拽住大负荷，例如拴着一头牛只要很小的力拽住另一端即可将绳索固定，如图所示，牛对绳提供T0的拉力，绳与柱的摩擦力为，为使牛不能脱离，所用的最小拉力多大？解：根据题意受力分析如图8所示
根据牛顿第二定律有
（16）
（17）
根据上题的方法，忽略二阶小量我们可以直接得出（18），当绳在圆柱上拴上两圈，，，则用时，就可以抵抗另一端的力。由上述的例题证明，转角处的摩擦力是不可以忽略的。将桌子的直角部分视为四分之一圆的弧形，和上面的习题一样，运用微圆法，根据牛顿第二定律，设在圆弧上的摩擦因数为，在联系例1有如图9所示。
解：根据例题1有：
（19）
在根据我们上面对软绳在滑轮上下滑的公式有（20），在将（19）式带入（20）式有（21），（22），（23） 在这个方程中我们很难求出摩擦因数，但可以运用计算机，采取逐渐逼近的方法，求出摩擦因数。对比桌面上的摩擦力，我们可以看出，转角处的摩擦因数只比桌面上的摩擦因数小0.038，所以转角处的摩擦力不能忽略。可以看出我们上面所做的例题1和例题2是错误的。
1.3 小结
转角虽然很小，但弹力并不小；所产生的摩擦力足可以与平面相比。
同样的原因也说明转角虽然小但摩擦力做功并不小，忽略转角处摩擦力做功，计算出的速度明显比实际速度大。
2 软绳在光滑的物体上下滑过程中的速度与长度的关系
2.1 软绳在光滑的桌面上下滑
在软绳下滑的过程中，在各个时刻的速度是不一样，现在我们讨论在一些，软绳下滑到一些特殊的长度时它的速度和加速度。
均匀链条从光滑的桌面上下滑，其中绳长为L，长为b的一段下垂，软绳从静止开始下滑，软绳的下滑规律，软绳滑出桌面的时间和速度。
解：以桌面为坐标原点取向下的方向为正方向做直角坐标系有如图10所示。
设：软绳的单位长度质量为p。
则有软绳的总质量为，软绳下垂到时，下垂部分的质量为受到的重力为，水平部分与下垂部分的作用力为，根据牛顿第二定律有
（24）
（25）
（26）
（27）
积分得，当时，，则带入上式（28），将其带入，得（29），根据初始条件和积分公式可以得出（30），则全部滑落的时间为（31），下滑的速度为（32），由上面的例题我们可以得出软绳在光滑的桌面上下滑任意长度时软绳的速度公式。我们只需知道其长度和其下垂部分的长度L和b就可以求速度，其中y是软绳下滑的到以桌面为原点的长度。当其全部下滑时y=L，软绳做自由落体运动。
2.2 软绳从光滑的定滑轮上下滑
一根粗细均匀长为2L的软绳，放在光滑的定滑轮上，一面长为L，另一面长为L，给绳施加一个微小的扰动，软绳从静止开始下滑，问绳的下滑规律，软绳滑离定滑轮的瞬间其速度。
解：解这类问题我们可以利用牛顿第二定律，类似与上题，设下滑了X，软绳的单位质量密度为。则在下滑的过程中一部分的质量，，滑轮左右两边的相互作用力为
・ （33）
（34）
（35）
带入上式 我们可以直接求出软绳下滑过程中速度与长度（36），当软绳的一个端点刚好滑离图钉时软绳的速度为（将X=L带入（36）式）（37）方法二：（能量守恒）（38）由上题的解我们知道绳从定滑轮上下滑时它的速度与绳长度的关系为其中X为软绳从一端运动到另一端的长度。同桌面一样当其全部滑落时做自由落体运动。上述的两道题我们都是在光滑的平面上讨论软绳下滑问题，可以看出绳的下滑速度与绳长的分布有直接关系。这也是由于绳的不可伸长的特征所决定，软绳在下滑的过程中，做变加速运动，当绳全部离开平面时，它就做我们所熟悉的自由落体运动。
2.3 小结
综上所述的例题我们可以得出软绳在下滑过程中长度与速度的关系，速度与其下滑的长度成正比，但当其全部下滑是软绳就做我们所熟悉的自由落体运动。在研究的软绳下滑速度与其长度的关系中，我们都将其为无摩擦力，无转角处的摩擦力的完全理想化情况，如果讨论绳子在有摩擦力和转角处摩擦力的情况，我们需要大量的已知条件，这里不做深入讨论。
3 结语
该文研究的软绳下滑问题主要得出两个结论。其一软绳在非光滑的桌面上下滑，其转角处的摩擦力是不可忽略的，而且在其转角处的摩擦力很大。其二在理想情况下，软绳在光滑物体上的下滑过程它的速度与下滑的软绳长度有着直接的关系根据例题比较我们可以看出，速度与软绳下滑的长度成正比，当全部滑落的时候软绳做自由落体运动。
参考文献
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