例谈小学数学教材蕴含的数学思想方法

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新课改推进以来，小学数学教师的教学理念、教学方式发生了根本改变，学生主体性、创造性的发挥较课改之前有了明显的改善。然部分课堂上学生的积极性、创造性只停留在比较肤浅的层面，而没有被数学学科的精髓所吸引，时常有重“明”轻“暗”的现象，即重视了数学知识的传授而忽略了数学思想方法的教学。最新颁布的《义务教育数学课程标准》在 “数学课程内容”中指出：“数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。”[1]这充分表明，数学思想方法的培养是课程目标之一，作为数学课程教学目标“四基”中的要素之一的数学思想方法理应越来越被广大数学教育工作者所关注。

小学数学教材中蕴含的数学思想方法很多，常用的小学数学思想方法有：抽象、归纳、演绎、模型化、分类、化归、对应、数形结合、极限等等。下面结合苏教版小学数学教材谈谈这些思想方法在教材中的体现。

一、抽象的思想方法

抽象的思想方法是指人们在感性认识的基础上抽取出事物的本质特征、内部联系和规律，从而达到理性认识的思维方法。“人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科及其众多的分支。”[2]学生认识自然数的过程是一个逐步感悟抽象思想的过程。1，2，3等较小的自然数是建立在对于真实事物的直接抽象之上的，而那些较大的自然数，因为已经超出了小学生的经验范围，则不是直接抽象的结果，学生只有从较小数的概念中抽象出数概念“序”的特性——一个自然数加1就可以得到下一个比它大1的数，才可能构建较大的数的概念。例如，小学一年级教学10以内数的认识，教材分成四个连贯的环节：在现实情境中数物体的个数；用算珠表示物体的个数；用数表示物体的个数；指导学生读数、写数。在学生经历认数的过程中，抽象出数的意义及有关数的顺序的概念，发展数学思考，初步接触抽象的思想。

二、归纳的思想方法

归纳是指通过研究一些简单的、个别的、特殊的情况，从而得出一般性的结论的思维方式。它包括完全归纳与不完全归纳，小学数学教材中的运算定律、基本性质、法则等基本是运用不完全归纳得出的。在解决数学问题时运用归纳思想，是思维过程中的一次飞跃。例如：在教学“三角形面积的计算公式”时，先引导学生通过操作发现锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的面积都可以用“底×高÷2”计算，再归纳得出所有三角形的面积计算公式，这就是运用归纳的思想方法。

三、演绎的思想方法

演绎与归纳相反，是一种从一般原理到特殊事例进行推理的思维方式，其特点是：只要原理正确，运用演绎法就一定能得出科学合理的结论。小学数学教材通常是在得出运算定律、基本性质、法则、公式后运用演绎推理进行计算或解决问题。例如：在通过抽象、归纳、概况出分数的基本性质之后，要求学生比较和的大小，学生利用已经得出的科学前提“分数的基本性质”和“同分母分数，分子大的分数较大”进行推理，将和进行通分，从而推理出

四、模型化的思想方法

模型思想是指从生活中实际问题的原型出发，运用观察、操作、比较、分析，将生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。数学模型思想在小学数学中通常表现为“建模”和“用模”两个方面。“建模”就是把生活原型提炼为数学模型的过程。“用模”就是在解决问题过程中，直接或间接地应用模型解决问题。例如，“商店有3个木偶和2顶帽子，小明打算买1个木偶和1顶帽子，可以有多少种选配方法？”，教材先让学生通过连线、列举等方法找出问题的答案，然后让学生观察、猜测、验证，从而归纳出“诸如搭配等问题可以用2×3=6来进行计算”的结论，这样从学生熟悉的“常识”上升为“数理”就是一个建模的过程。模型建好后运用已有的模型来解决这一类的实际问题就是用模，通过用模，让学生感受到建模的必要性和优越性。

五、分类的思想方法

分类是指根据研究对象的某些共同性和差异性将它们分为不同的种类的思想方法。将研究对象进行合理分类必须遵循分类标准的科学性原则和每次分类标准的唯一性原则，方能保证分类结果的既不重复也不遗漏，同时，让学生对运用不同的分类标准会产生不同的分类结果有更深刻的体会和理解，利于学生对知识的梳理和建构。分类的思想是“由抽象的思想派生出的。”[3]它在小学数学学习过程中有广泛的应用，小学数学教材中也多有渗透。例如，三角形按边分可以分成等腰三角形（含等边三角形）和不等边三角形；按角分，可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。教师应引导学生对于为什么要分类、怎样分类、如何确定分类的标准、分类过程中以及分类之后如何更好的认识对象的特性等展开独立思考与合作交流，以促进他们逐步感悟分类思想。

六、化归的思想方法

化归思想是一种比较重要的数学思想方法，就是在解决数学问题时不是对问题直接求解，而是根据已有的经验，将有待解决或未解决的问题，归结为在已有知识的范围内可解决的问题。其基本形式有化生为熟、化难为易、化繁为简、化整为零、化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体等。在小学数学教学中，遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时，可先转化，使生疏复杂的问题熟悉简单化、抽象的问题具体化，从而顺利解决问题。例如在“多边形的内角和”的教学中，通过将多边形分解为若干个三角形，把“多边形的内角和”这一较复杂的问题归结为“求若干个三角形的内角和是多少”这一较简单的问题来解决，这是化归思想在实际问题中的具体体现 。

七、对应的思想方法

对应思想是指人的思维在两类事物之间建立某种联系的一种思想方法。其核心是找出一种元素与另一种元素之间存在的对应关系，寻求问题解决的途径。小学数学教材中关于对应的素材俯拾皆是。例如：“已知一个直角三角形三条边的长度分别是6厘米、8厘米和10厘米，求这个直角三角形斜边上的高。”学生如果能知道6厘米和8厘米是一组对应的底和高，10厘米和斜边上的高是另一组对应的底和高，此题就迎刃而解了。再如，小明买3本笔记本需要18元，小华买同样的5本笔记本需要多少元？教材引导学生用列表的方法整理条件，实际就是在引导学生找出数量间的对应关系时，渗透了对应的思想方法。

八、数形结合的思想方法

“数”与“形”是数学研究的基本对象和基本内容，它们相互联系、相互依赖。数形结合思想是在解决数学问题的过程中，将数量关系与几何图形有机结合，使问题得以解决的一种思想方法。在一定条件下通过以形助数、以数解形，在数和形之间架起一座连接的桥梁，使抽象思维与形象思维结合起来，从而让学生的思路开阔，使所要解决的问题化隐为显，化难为易，化繁为简。例如：“梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？”这个问题学生理解时有一定的困难，条件虽然有3个，但学生不能把条件间的联系建立起来，教材通过画图，帮助学生从图形的直观特征中发现数量之间存在的联系，发现18平方米和3米这一隐性的对应条件，最终使问题得以解决，达到事半功倍的效果。

九、极限的思想方法

极限思想方法是指用联系的、变动的观点，研究变量在无限变化中的变化趋势的思想方法。运用这一思想方法，人们的思维可以从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。刘徽的“割圆术”就是利用极限思想求出了兀的值，也就是“徽率”。现行小学教材中有许多处加强了极限思想的渗透。在推导“圆面积的计算公式”时，把圆分成若干个面积相等的扇形，然后把它剪开，再拼成近似于长方形的图形，在让学生观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，当把圆等分的份数越来越多时，拼成的图形也就“无限逼近”于长方形，进而不仅借助长方形面积计算公式推导出圆的面积计算公式，更为重要的是萌发了无限逼近的极限思想。

除上述几种数学思想方法之外，在小学数学教学中还蕴涵有函数的思想方法、类比的思想方法、集合的思想方法、符号化的思想方法、统计的思想方法、整体的思想方法等等，这里就不一一列举。

数学思想方法是数学的灵魂，数学思想方法是教学的内容之一。在小学阶段，恰当、有效地开展数学思想方法的教学，应找准渗透的“点”，把准教学的“度”，让学生在过程中体验、感悟数学思想方法的魅力和价值，以期达到“随风潜入夜，润物细无声”的效果。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.全口制义务教育数学课程标准（修订稿）【M】.北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]顾沛.数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”【J】.数学教育学报，2012.2

[3]顾沛.数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”【J】.数学教育学报，2012.2