织网:走向数学知识的结构化
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摘要：当前的课堂往往注重知识“点”的处理，而忽视了沟通知识之间的联系，不利于学生认知结构的形成。小学数学是一门逻辑性、结构性很强的知识，数学知识之间充满着多维的联系。在数学知识教学中，重视引导学生理解知识之间的联系，培养学生“织网”的本领，能够有效促进学生认知结构的完善、迁移和生长。
关键词：结点；构链；织网
中图分类号：G623.56 文献标志码：B 文章编号：1673-4289（2013）10-0043-03
小学数学是一门逻辑性、结构性很强的知识，数学知识之间充满着多维的联系。在数学知识教学中，重视引导学生理解知识之间的联系，培养学生“贯通”知识的能力，能够有效促进学生认知结构的完善、迁移和生长。
一、由表及里：在知识探究中“结点”
“点”是“网”的基础，“点”的牢固性直接影响学生认知结构的深刻性。由表及里，就是要重视挖掘显性知识背后的思维价值，引导学生深刻理解数学。只有把“点”结“实”了，学生所形成的认知结构才是清晰的、完整的，具有建构意义的。
例如苏教版三年级下册“求一个数的几分之几”的教学，同六年级上册用分数乘法“求一个数的几分之几”不同，这一内容重在结合分数的意义来解决问题，从而进一步深化对分数意义的理解。因此本课中，我引导学生由“形”到“数”，从直观到抽象，通过多元表征来深刻理解和掌握知识。
（一）图形表征，呈现多样化结果
本课中，我先呈现主题图：
引导学生理解：把12个蘑菇的3/4分给他们，分给他们多少个呢？启发学生：你能不能“画”出这个分数？不仅自己明白，而且要让其他学生看得清楚。之后，我给予学生充分的探究空间，让学生独立尝试，呈现了多样化的学习结果：
这些成果，都来自于学生的真实想法，是重要的教学资源。在此基础上，我引导学生对以上方法展开讨论：
方法一：是把12个蘑菇平均分成了2份；
方法二：虽然是平均分成了4份，但没有表示出这些蘑菇的3/4；
方法三：只表示出了这些蘑菇的1/4，也就是3个蘑菇；
方法四：把把12个蘑菇平均分成了2份，这样的3份就是这些蘑菇的3/4，就是9个。可见，方法四是符合这个分数意义的。
（二）符号表征，建构概念的意义
以上是通过“画”分数的手段求出了“12的3/4是多少”，但这不是普适性的最简化的方法。重要的是，要将这一方法上升为数学思考，建立数学模型。因此，我启发学生思考：你能不能用算式把刚才分的过程和结果表示出来？学生通过独立思考，合作交流，得出了12÷4=3（个）；3×3=9（个），引导学生结合分数的意义理解：12÷4=3（个）就是把12个蘑菇平均分成4份，每份是3个，这样的3份就是3×3=9（个）。
这样的教学，紧密联系对分数意义的理解，引导学生从直观到抽象，由形到数，充分参与探究活动，经历从具体事物（主题图）——符号化（画图）——数学模型（算式）的逐步概括过程，不仅掌握了数学知识，体会到数学学科的本质，而且对学生数学思想的体验和数学素养的提高起到了积极的作用。
二、由前及后：在知识迁移中“构链”
散乱的知识“点”一般不具备知识迁移的能力，只有让学生理解知识的前后联系，经历数学知识发生、发展的过程，形成知识“链”，学生所掌握的知识才能延展和迁移。因此教学中，我们应该充分关注学生已有的知识经验，培养学生“贯通”前后知识的能力。
（一）追溯知识的“原有形态”
在学生的数学学习中，最重要的是他头脑中“已经有了什么”，而这些“已经有的东西”是学生后续学习的重要基础。因此，培养学生的迁移能力，利用旧知去探索新知，是学生主要的也是最有效的数学学习方式。
例如，在苏教版三年级下册“三位数除以一位数的除法”的教学中，我引导学生应用已经学过的“两位数除以一位数”的方法来探索新知，收到了良好的效果。
（出示：986÷2）
师：同学们，这是我们今天要学习的新知识。想一想，我们以前有没有学过类似的知识？
生：学过了，想98÷2这样的两位数除以一位数。
师：好，既然掌握了类似的知识，你能不能利用已经学过的知识来解决呢？自己想不想试一试？
学生尝试练习，一会儿，钱张豪小朋友说：“老师，不行，算不出。”他是这样算的：
师：谁来帮他解决？
生：应该先把8移下来，6不能移下来。
师：为什么呢？
生：因为百位上的9除以2，余1个百，应该把十位上的8移下来，合成18个十，再除以2得9个十，把9写在十位上。然后第三步再把个位上的6移下来算。
师：哦，看来问题的关键在这里，计算两位数除以一位数时，先用十位上的数除以除数，再用个位上的数除以除数，分两步来算。而计算三位数除以一位数是，分别用百位、十位、个位上的数除以除数，分三步，其实是多了一步，其他的方法都是一样的，对吗？
这样的教学，围绕学生运用旧知探究新知时出现的问题来探讨，抓住了教学的关键，突出了新旧知识之间的联系，实现学生良好的知识建构。
（二）寻找知识的“发展形态”
作为小学数学的某一知识点，在以后的学段中还有发展和深化。这一知识发展的“发展形态”，往往也最接近这一知识的核心与本质。因此，我们不仅要研究其发展的源头，也要联系其发展的走向，明确知识“发展的形态”的内容和目标。
例如，“可能性”知识的发展形态就是概率知识，由于小学教师一般没有学过系统的概率知识，因而造成课堂教学中对一些“尴尬”现象不能作出合理解释和正确引导。如苏教版三年级上册“可能性”教学中，教师组织学生进行“摸球”的活动：在一个装有3个红球、3个黄球的袋子里任意摸一个球，摸40次，让学生记录摸到球的次数。该活动的目的是让学生感受可能性相等的情况，但实验时有一个组摸红球的次数远远多于摸黄球的次数，这与事先师生的预设和预测是相悖的。如何解释这个现象？如果教师有了概率知识的底气，那么就很好解释：每一次摸球都是一个独立的事件，都有摸到“红球”和“黄球”两种可能，因此不论摸到“红球”还是“黄球”都是可能的。对“等可能性”的理解应该放到更多次数和更大范围（全班）中去观察思考。
三、由此及彼：在知识建构中“织网”
影响学生数学学习的因素是多方面的，不仅有知识表里和前后的关系，还有知识之间横向的关系。重视沟通数学知识之间的联系，由“点”及“链”，由“链”及“网”，有利于学生形成完整而开放的认知结构，促进知识的建构和生长。
例如，“两位数乘两位数的竖式计算”是小学计算教学的难点。实际教学中，不少学生尽管理解了算理，知道了算法，但由于两位数乘两位数竖式比较复杂，在实际计算时往往受到干扰，乘的步骤和积的定位往往会出现不少问题。针对这样的难点，不少教师在上这节课时把重点放在反复训练上，认为“熟能生巧”。学生经过重复的练习，固然能掌握算法减少错误了，但这样就够了吗？
笔者认为，我们首先要讨论的是，“两位数乘两位数的竖式计算”为什么会成为学生学习的难点？其原因是学生不能很好地建构起与相关知识的联系，在已有知识经验的基础上探索新知。因此，本课教学的重点是引导学生建构起竖式计算与现实问题解决和口算方法经验的联系。
（一）从“现实世界”到“数学世界”
从竖式计算的方法看，这样的知识完全可以引导学生用纯数学的方式来掌握，但苏教版教材为什么要添加一个情境呢？教材的目的不仅仅是让学生体会到数学与生活的联系，而是要让学生联系现实问题的解决来建构算法。
教材的例题：“订一个月牛奶要28元，订一年要多少元？”通过这个问题的解决，引导学生理解：先算10个月的，即28×10=280；再算2个月的，即28×2=56；再把两个积相加。而“竖式”其实就是把这样的过程在一个式子中表示出来。因此，教学中，我们要结合问题情境让学生理解每一步计算的意义，从而真正掌握竖式计算的方法。
（二）从“数学世界”到“数学世界”
应该说，从“现实世界”到“数学世界”帮助学生理解了算理，而带来的问题是，解决这个问题用口算也可以，为什么要学习“竖式计算”呢？因此，我们还需要引导学生在“数学世界”里经历符号的生成、重塑和被使用。我们要思考：竖式计算为什么会形成现在这种形态？它在形成的过程中融进了哪些数学的因素？
教材上介绍了我国明朝的《算法统宗》中“铺地锦”的计算方法，是用格子来算的。这种计算方法的算理与竖式计算时相通的，但比现在的竖式计算复杂，可以看成是竖式计算的雏形。可见，现在的竖式计算是不断发展起来的，“竖式”所体现的“简化、便捷”是数学内在的体现。学生对这种缄默性知识是需要经历和体验的，这种对数学内在本质的理解是一种重要的数学素养。
因此本课中，我把重点和时间化在“怎样用一个竖式表示口算过程（算理）”上，引导学生讨论口算方法（先算10个28，即28×10=280；再算2个28，即28×2=56；最后把两个积相加）后，我提出：同学们，以前我们学过了竖式计算，那么你能不能把刚才的三步计算的过程用一个竖式表示出来呢？学生们在合作交流中不断质疑、修正，期间产生了不少的表示方式：
我引导学生讨论完善：竖式1表示出三步计算的过程了吗？竖式2先算的“8×12”，再算的“20×12”表示什么意思呢？让学生结合具体情境理解应该要表示出“先算10个28，再算2个28，最后把两个积相加”的过程；竖式3的第二步算的是“28×10”还是“28×1”呢，从而引导学生注重积的书写位置；竖式4中的“0”是否可以省略？
这样的教学，由此及彼，从“口算”到“笔算”，从“算理”到“算法”，让学生理解了“竖式计算”的实质：用“简化、便捷”的形式来表达数学内容，有利于学生关于计算知识结构的建立。
（作者单位：常熟市绿地实验小学，江苏，常熟 215500）