电源输出功率认知点有效形成的教学设计与程序化问题的递进分析
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电源输出功率随外电阻变化的关系，日常教学中我们总是根据理论推导获得电源输出功率随外电阻变化的这一形式：
P出=I2R=E21（R+r）2R=E21（R-r）21R+4r.
在获得表达式后，我们直接给出P出-R变化的图象，通过一定数量习题的练习就认为形成了对这一知识点的学习.
实际学习中，学生对函数解析式与函数图象一一对应的映射关系，熟练的只是在线性函数上，而对于复杂函数解析式相对应的函数图象是什么样还没有真实地建立起一一对应的关系.为了教学的便捷，我们只是按照“学生应当能理解”这一默认的方式进行教学，用直接给出的方式让学生进行记忆，势必然造成“这不是真正的函数图象，而是经验性的描述！”这一认识.同时，对函数图象形状的理解和单调性以及其变化规律将产生理解上的歧义！
上述教学形式虽然我们引导学生通过演绎推理获得这一结论，但对于“数”和“形”不太熟悉的对应图景我们缺失了通过实验探究这一体验形式真切获得可感知的函数图象，这无疑“短路”了“数形合一”的思维发展.从实际调研和听评课后的反馈来看，教学效果不好实质上是灌输式教学.没有经过理论推导，直接硬性接受这一结论，虽然能解决一些问题，但随着时间的推移对这一结论将会逐渐淡忘，这种给予式的学习不利于知识的形成和学科能力的发展.从学生后续性应用和知识前移的角度来评定，这种方式并没有实现预定的学习目标，再者，由于我们过分注重电源输出功率随外电阻变化的增减性，日常教学中教师往往会把P随R变化的图象绘成关于R=r对称的曲线，这给学生的学习带来错误的认识.
从认知心理学的角度看，任何知识的形成必须经过体验和感悟，通过丰富的表象并对其抽象形成规律的过程才能完成知识的形成，通过概念的区别进行强化，通过知识的应用达到提高和深化.为此，理论推导和实验探究相结合是形成电源输出功率随外电阻变化规律的前提，函数与图象相统一是深化理解规律的基础，通过分类问题的求解是实践学以致用的发展点.教学中只有做到上述三点，在知识形成过程中的学科思维力才能真实地得以培养.
基于学生初等代数基础的限制，我们对电源输出功率随外电阻变化的函数关系务必要从实验探究和理论探究的角度来形成，只有建立在实验探究基础之上的理论推导和应用，才会形成事实意义上的知识.在形成电源输出功率随外电阻变化的函数关系时，我们要通过理论探究和实验探究并重的方式，才能形成真实可信，可迁移和应用的认知，也只有通过这一方式才能达到思维力的培养.为提高基于问题自主探究的有效性，将实验探究的实施位于教学之前，理论探究位居之后，这对于加深理解有着积极的意义.为呈现这一教学设计思想，我们不妨将教学流程设计如图1.
深化该认知点的学习应当从三个方面入手：实验探究和理论探究并重、相近概念的区别和联系，以及相关应用三个环节实施教学，教与学的过程才富有真实的成效.
1通过实验探究形成学生可信的电源输出功率随外电阻变化的函数图象
建立在实验探究基础之上的路端电压随电流变化的函数关系图象的形成，是有效形成该认知的关键.为凸显如何获得P出-R函数图象这一认知点，我们应当根据教学资源的实际进行设计.一是以实验操作为手段，采取描点法作图获得函数图象的操作性探究，第二种是根据实验室状况通过数据采集器，运用计算机描绘函数图象的第二类方式.从实际教学来看，两种方式对于形成认知都比较富有成效.
1.1以实验探究和描点法作图为体验方式的探究性教学
以如何设计测量电路，选择什么样的实验器材，如何形成有效的实验记录，如何处理实验数据形成直观的函数图象，这是实验探究的关键.提高教学有效的方式体现为如何实施有效的任务驱动，如何引导学生连接电路、测量数据和描点法作图，如何组织各学习小组展现学习成果，为此教学中我们应当抓住如下环节：
第一个环节是基于经验提出探究的问题.要从学生已有的认知出发，形成可引导学生思维向深度发展，经过一般性逻辑推理形成可探究的问题，这是形成问题实施有效探究的前提.为此，提出如下问题来驱动学生思维的发展：当外电阻R变大时电源的输出功率P出如何变化？请同学们猜猜看，并简要谈谈你的猜想依据！学生经过自我探究和小组合作流，必然会形成如下猜想：
（1）外电阻增大时，电源输出电流减小，所以输出功率也要随之减少；
（2）外电阻增大时，电源输出电压升高，所以输出功率要随之增大；
（3）外电阻增大时，电源输出电压升高，而输出电流要减小，由公式P=UI可知，当外电阻为某一阻值时电源输出功率应出现最大值.
当上述问题一一呈现的时候，为了激发学生的认知冲突，我们不妨采取“极端法”来提出如下问题：当外电阻为零时（即短路），电源输出功率为零；当外电阻无穷大时（即断路），电源输出功率也为零；当电源所接上的电阻既不是零又不是无穷大时，它输出的功率均大于零，那么电源对外的输出功率是否为“先增大后减小”呢？
第二个环节是对猜想进行合理的评价.这种评价不是对猜想结果的评定，而是基于探究问题的求解，引导学生推演探究实验的原理，这是形成实验原理的前提.同时要在如何引导学生基于探究的目的设计实验的要求，并根据原理合理地选择实验器材，进行有效和安全地安装，这是实施实验操作的前提.测量什么物理量，探究什么，这是基于实验目的来设计表格，进而对实验数据进行记录、分析形成结论的前提.
第三个环节是展示成果.教师的引导应体现在上述问题的设计和展现不同学习小组的研究成果上.包括展示实验原理、电路设计、比赛各学习小组连接电路的快慢和优劣，记录数据表格的设计，如何采取描点法作图获得P-R的函数图象，如何根据图象获得有效的结论.
找四个小组利用实物投影仪投放记录的数据及做出的P出-R图象.下面是其中一个学习小组测量获得的数据表格（表1），其中r=5.4 Ω：
第四个环节是必要的补偿性练习.由于所学初等代数的限制，我们总习惯于线性函数表征物理规律，而对于电源的输出功率随外电阻变化的函数关系是非线性的，为了降低描点法作图如何绘制P出-R图象这一难点，在描点法作图之前我们复习回顾电源的路端电压随外电阻函数变化的规律就成为降低这一认知难点的前置性补偿.为此我们应当复习和展示如下内容：如图2所示的电路，借助电压-电流传感器得出U-R图象.电压-电流传感器相当于电压表和电流表的作用，它们通过数据采集器和电脑相连，可实施以图象的形式表现U-R的动态关系.从图3可以看出：
（1）当R增大时U也随之非线性增加；
（2）当外电路断开R∞时，U=E；
（3）当外电路短路时U=0，短路电流I=E/r （一般不允许外电路短路）.
第四个环节是引导学生描点法作图，获得电源输出功率随外电阻变化的函数图象.要引导学生学会“用平滑曲线连接”和函数变化关系非线性变化这两点，从而获得及与实验数据真实可信的图象.
通过对坐标纸上若干点用平滑曲线连线，形成可直观观测的P出-R图象.在描点法作图时，为了节约坐标纸的使用空间，尊重实际测量选择的外电路电阻与对应的路端电压的数值，我们在建立坐标系的时候，往往是从某一个值开始，如图4所示.
第五个环节是基于描点法获得的图象如何进行有效地分析，这既是提高实验素养的关键，更是深化理解电源输出功率随外电阻变化规律认知形成的关键.为此通过任务驱动的方式引导学生分组进行讨论交流得出结论，这是增强感知获得丰富表象形成认知的基础.
（1）根据计算和作图分析，电源输出功率与外电阻有什么变化规律？
（2）当外电阻增大时，电源输出功率是否一味地增大？
（3）当电源的输出功率为一定值时，是否对应外电路唯一的阻值？
（4）当外电阻与等效内阻相接近时，电源输出功率为最大，是否电源的效率也为最大？
（5）当外电阻从零开始变化，描绘得出的P出-R图象如图4所示，试分析描绘得到的函数图象在同一个电源输出功率时为什么会出现两种可能的电阻值？
（6）同一输出功率对应的外电路电阻值R1，R2存在什么关系？
（7）分析峰值所对应外电阻的物理意义？
1.2以直观性观察为主的探究性实验
测量数据，描点法作图如图5，分析图象获得结论这是常规实验探究的基本做法，但由于本节课要解决电源的路端电压随外电阻变化的函数图象，耗时较多，如果再通过实验操作和数据处理的方式获得电源输出电功率随外电阻变化的函数关系不太现实，因此利用电压-电流传感器输入计算机，绘制形成P出-R图象，在增强直观性，提高可信度的前提下实施实验探究比较可行.借助电流-电压传感器得出P出-R图象如图所描绘的所示.
2理论探究形成电源输出功率随外电阻变化的规律
2.1电源的输出功率随外电阻函数图象如图6所示，在不同的区间具有不同的单调性
（1）当R=r时电源的输出功率最大为Pmax=E2/4r，电源的效率最高也只是50%；
（2）当R
（3）当R>r时，函数图象单调递减，随外电阻R的增大电源输出功率越来越小，电源的效率仍在增大；
（4）当P出
根据P出=E21（R1+r）2R1=E21（R2+r）2R2，
可得R1・R2=r2.
（5）从函数图象形状来看，单调递增和单调递减并非关于R=r对称.
通过上述分析可知，电源的输出功率越大而其效率不一定越高.从能量利用的角度来看，我们希望电源的效率越高越好，但从理论上，这要求外电阻要增大，这意味电源的输出功率在不断减小，当电源外电阻趋向于无限大（外电路断开）时，电源的输出功率减小为零，在实际中没有意义，故在实际中利用同一电源的能量时，既要考虑电源的输出功率又要兼顾电源的供电效率.
电路中涉及到电功、电功率的定性分析和定量计算时，基本思路是依据部分电路电阻的改变判断总电阻的变化，根据闭合电路欧姆定律分析干路电流的变化，干路电流的改变引起电压在电路里重新分配，从而使各用电器电功率尾随变化，是“牵一发而动全身”相互关联的动态变化问题.因此处理这类问题遵循的原则是不变优先的原则，即先从不变的地方入手，从而分析研究对象电功率的变化.根据实际场景我们分为外电阻变化和恒定的两类.
（1）若用电器的阻值是变化的，通常采用等效电源的方法得出E′和r′，实将用电器获得的最大电功率问题转化成电源的最大输出功率问题来处理，当且仅当R=r′时Pmax=E2/4r′；
（2）当用电器的电阻是固定不变的，我们通常用P=I2R或者P=U2/R来求解.
2.2电源输出功率随外电阻变化，在不同区间内单调性的应用
求解电源的输出功率时我们要判断外电路的电阻在什么区间范围内，即判断外电阻在0≤R≤r和r≤R≤Rmax那个区间，利用函数的单调性求其极值（不一定是最值）.也就是说，电源输出功率由于随外电阻的变化而发生改变，具有严格的单调性才存在极值问题；有严格的有界性才存在最值问题.
（1）当RA≤r时，R1
（2）当R≥r时，rP4，电源输出功率随外电阻的变化单调递减，P出≤E2/4r；
因此分析电源的最大输出功率必须明确外电阻的可能变化范围，是在什么区间内，存在最值？还是极值？要根据函数的单调性来解决.运用函数解析式表达物理规律，辅助以函数图象直观呈现物理变化的规律，两种方式并重才能形成“数”和“形”一一对应关系，我们借助于两种方式才能有效地把握物理变化的规律.对于线性函数以外不太熟悉的，在深化理解变化规律的时候，我们不要急于直接给出学生不太熟悉的函数图象，而是要遵循认知发展的规律，必须通过实验探究获得科学有效的数据，通过描点法作图逐步得到函数图象.这种方式虽然在学习的过程中有点慢，但它符合学习的认知规律，即能通过实验探究获得丰富的感知，形成有效的表象，基于此才能进行有效地抽象形成真实可信的规律.当我们获得这一规律时，再通过必要的理论探究进行验证，我们就形成了“数”与“形”对应，可直观呈现的物理规律.再通过相近概念的区别和相关的应用，就能达到知识的深化理解，唯有如此我们的教学才能称之为有效！