独立对称随机级数的收敛边界

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摘要：利用有关对称随机级数的可和性及a． s．收敛关系的成果，得到一维独立随机级数的收敛边界几乎必然是自然边界，并给出相应推论．

关键词：可和 ； a．s．收敛 ；自然边界．

Convergent series of independent symmetric random boundary

Lu FangfangTuao shuang

Abstract: For symmetric random series can and sexual and a. s. Convergence between the results, to be independent random series of one-dimensional boundary is almost surely convergence of the natural boundary, and the corresponding inference

Key words: and; a. s. Convergence; natural boundary

随机级数的知识主要来源于文献[1]，该书的起源是Paley和Zygmund在1930年后发表的题为《论若干函数项级数》的几篇短文[2] ．

关于求和法的介绍，设B是一个Banach空间，给定纯量的一个无穷矩阵 它满足条件， 则称是求和矩阵．

给定级数 ．考虑级数 ．记 为它们的和，如果序列在Banach 空间B中收敛，则称级数是可求和的，并且定义为的和．

是在区域内确定的单值函数，并且．如果，那么在可微或可导记作．

定义[3]：如果函数在区域内每一点可微，那么称为在区域内解析．如果在的一个邻域内解析，那么在解析，如果在区域内解析，而闭区域上每一点都属于，那么在上解析．

关于随机级数自然边界的定义，，该级数的收敛域为D，收敛边界，收敛边界上的奇异点，是指不存在任何穿过上包含该点的弧的解析延拓，称上的非奇异点为正则点．若上的点都是奇异点，则称收敛边界是自然边界．

利用可和性根据结论需要，证明下面的引理．

引理1： 是复平面上某一区域内的解析函数序列，在的一个子域内收敛，若能解析延拓到含在中的圆盘，那么对于每个，存在一个求和矩阵，

证明 ： 令，其中

如果，则=1．又有在处的泰勒展式．

根据上述条件可得， 那么为一求和矩阵．

令有

其中 ， 所以

根据上面的式子可以得到，该级数是可和的．

在拓扑空间中有相同分布的两个随机变量称为同分布的，,是在拓扑空间中同分布的随机变量，则它们相似，如果和相似，则称是对称的随机变量．

引理2[1] ：设是Banach空间B中的独立对称的随机向量，且是求和矩阵，如果级数 a．s．可求和， 则该级数a． s．收敛．

定理1：级数的收敛域几乎必然为，在外发散，其中为独立对称的随机变量列，满足引理1中的条件，则的收敛边界几乎必然是自然边界．

证明：若级数能a．s．解析延拓到圆盘，但，根根据引理1知存在某个求和矩阵，使得级数在内是a．s． 可和的．又由引理2知道级数在内是a．s．收敛的，这与级数在外发散矛盾．因此的收敛边界几乎必然是自然边界．

推论1： 级数的收敛圆的边界几乎必然是自然边界，其中是在上等分布的独立随机变量．如果是标准概率空间，因为，所以对于所有是对称的．

设是一个模糊数[4]，用表示模糊数的截集，如果和是关于的连续函数，模糊数称为连续模糊数，用代表全体连续模糊数集合．如果概率空间是完备的，是模糊随机变量的充要条件是对任意的，若将和看成从到的函数，那么它们是随机变量，这里和是模糊数的截集的左端点和右端点．

推论2：随机级数的a．s．收敛域为，在外发散，是独立对称的模糊随机序列，则级数的收敛边界几乎必然是自然边界．

根据定理1可知级数，只要是独立对称的随机变量序列，不论其具体的分布都可以判断级数的收敛边界几乎必然是其自然边界．

参考文献

1、J -P卡昂纳．函数项随机级数[M]． 武汉:武汉大学出版社， 1993．

2、P．E．A．C．Paley，Wiener，N． and Zygmund，A． Notes on random functions[J]． Math．Z．37，1932，647-68．

3、余家荣．复变函数[M]．高等教育出版社， 1992．4．第二版．

4、王运辉．模糊随机变量的收敛性[J]．保定师范专科学校学报， 2006．

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