换位思考、巧妙解题

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【摘 要】在数学的解题上可以说没有某种固定的解法，思维的角度不同，解题的方式就可以不一样。通常可以有数与形的转换、恒等关系转换、方程与函数之间的转换、正难则反的转换、常量与变量的转换等。这些转化可以使得题目化繁为简、优化解题途径的作用。

【关键词】数学解题；转换；优化

一、数与形的转换

数量上的极端性必然与图形上的特殊性紧密联系，有时通过数量关系研究图形性质，有时通过图形特征研究数量关系。从而可以利用数的严谨和图形的直观的辩证统一和各自的优势尽快的找出解题途径。

例1.若方程组 有两解，求b的取值范围

解析：此题可以用代数法来解题，但讨论的类型较多，而且理解起来较为抽象。但若换个角度，我们可以发现第一个方程 表示单位圆在x轴上方的部分，而y=x+b则表示一条平行于一三象限角平分线的直线，那么现在问题就转化成在直线平移的过程中使之要与半圆有两个交点。观察直线在此种情况下它在y轴上的截距就是所要求解的b的范围，作右图可得：

二、恒等关系的转换

例2.已知z∈C，解方程

分析：欲直接求复数z是有一定难度的，但从复数的代数形式上思考可发现其实就是求它的实部和虚部，故可以设 ，代入已知，据复数的相等条件得：-3x=3且x2+y2-3y=1，由此解得x=-1，y=0或y=3，从而z=-1或z=-1+3i

点评：“数学解题是命题的连续转化”，复数问题集中体现在将其等价转化成是实数问题。

三、方程与函数的转换

例3.若正数a，b满足方程ab=a+b+3，求ab的取值范围（99高考题）

分析：从表面形式看这是关于a，b的一个方程，但从方程的角度是不好解ab范围的。我们可以将原式化成一个函数：b=，由题意a≠1。所以

设a-1=x，由a>0，知a>-1且x≠0，所以ab=5+x+，又易证ab在（-1，0），（0，2）上均是减函数，[2，+∞）上是增函数，所以x=2，即a=3时，ab≥5+2+=9

函数是中学数学的一条主线，也是高考考查的重点。

四、正难则反的转换

“正难则反”就是指如果从正面难以说清或根本无法入手时，不妨“正话反说”。

例4.二次方程 有两个虚根，求 的范围

分析：因为不是实系数方程，所以不能用“”根的思路解题，又因为系数中含有参数，解根很繁琐。方程有两个虚根即是没有实根。反过来理解就是“方程有实根时，求出 的范围，然后再用补集求解”

五、常量与变量的转换

在不同的变化过程中，常量和变量是相对的而不是绝对的，可以根据题意适当转换。

例5.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点。已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0），若对于任意的实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围。

分析：因为f（x）恒有两个相异的不动点f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）=x，ax2+bx+（b-1）=0（*）

由题意b2-4a（b-1）>0（ ）：恒成立，对于f（x）中的a，b，本来应该视为常数的。但此时得到得这个式子怎么

六、主元与参数的转换

通常解题时总是把注意力集中到那些主要变元上，但当思维受阻时，若注意在某些特定条件下，从结论与条件的内在联系出发，变换思维角度，反客为主，使解题得以突破。

例6.曲线系Ck：的方程为 ，证明在坐标平面内任意一点（a，b）（a，b≠0）总存在Ck中的一椭圆和一双曲线通过该点。

解析：若从曲线系的角度去考虑，即以x，y为主元，思维受阻。若从k来考虑，k

设点（a，b）（a，b≠0）在曲线Ck上，则

f（9）=5a2>0知f（x）=0，即方程（*）在（-∞，4）和（4，9）内分别有一根。

所以，对平面内任意一点（a，b）总存在曲线Ck中的一椭圆和一双曲线通过该点。

总结转化法在高中数学解题中的应用，目的是为了让学生们在已学知识点的基础上充分认识到相关知识点所扮演的角色转化，从而对所学内容更加深入的得以提高并将之深化理解，最终转化为己用。当然这种思路的解题方法掌握起来并不能一蹴而就，必须循序渐进、必须通过横向、纵向的梳理才可融会贯通，最终达到举一反三，甚至对某些问题会有所创新。

（作者单位：江苏省启东市第二中等专业学校）