对一道课本习题的研究

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通过多年的教学，我发现教材中有许多极有价值的题目.对于这类题目，我们不能就题论题，或者仅仅满足于能正确解答题目，而应引导学生认真挖掘题目的内涵，不断地完善学生的知识结构和认知结构，激发学生对教材研究的兴趣，培养学生的探究能力、创新能力.

高中数学新教材第二册（上）P96练习4：ABC的一边的两顶点是B（0，6）、C（0，-6），另两边的斜率的积是-49，求顶点A的轨迹.

这道题的答案是：轨迹方程为x281+y236=1（x≠0），轨迹是一个椭圆（除短轴端点外）.

我把这道题当做作业布置给学生，学生只是满足于把题目解答出来，而且绝大多数学生都能正确解答本题.但是，在学了椭圆和双曲线之后的一节习题课中，我要求学生研究这道题.下面是这一道课本习题的教学实录.

师：今天这节课，老师想请同学们研究一道课本题（P96练习4）.

开始，许多学生都认真研究他们的解答，看看是否做错，很快他们发现他们没有做错，他们说：“老师，我们没有做错，你要我们研究什么？”

师：是的，这道题你们是没有做错，但老师就是要你们研究这道题.

经过热烈的讨论，有学生说：“老师，我想看看它的逆命题是否正确？”

师：很好，大家不妨以这位同学的想法为例做一些研究.

很快有学生写出了它的逆命题：

已知椭圆方程为x281+y236=1（x≠0），短轴的两个端点为B、C，若点A是椭圆上任意一点（异于B、C），求点A与B、点A与C的连线的斜率的积.

经过计算得到答案正好是-49.

这时一些学生脸上露出成功的喜悦，并感叹：“原来这个命题的逆命题也成立！”

师：很好，同学们经过研究，发现了这个命题及它的逆命题都是正确的，但这仅仅是研究的开始，请同学们继续研究.

于是，学生再次进入思维、探索的高潮，所有学生都在进行积极的探索.有的学生想研究它的否命题、逆否命题，但很快发现研究这四种命题的关系没有什么价值；有的学生研究椭圆的方程x281+y236=1（x≠0）中的数值与-49的关系；有的学生写出了P96练习4的一般形式：ABC一边的两顶点B（0，m）、C（0，-m），另两边的斜率之积是常数-p，求顶点A的轨迹；还有的学生得出了更一般的命题：与两定点的连线的斜率之积是定值的点的轨迹是椭圆……

教师在教室巡视，不时给学生一些提示和点拨，经过学生的研究和讨论，得到了如下命题：

平面内的一个动点M（x，y）到两定点A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1

此时，同学们十分高兴，个个脸上都露出了成功的喜悦.

师：你们真了不起，通过研究你们发现了这样漂亮的命题，真是太棒了.但是，谁能使这个命题更加完美呢？

学生再一次进入思维、探索的高潮.有的学生想到了教材P108习题1：ABC一边的两个端点是B（0，6）、C（0，-6），另两边的斜率的积是49，求顶点A的轨迹.[答案：双曲线x281+y236=1（x≠0）]；有些学生则直接对命题中的常数的取值范围进行研究，他们觉得这个常数的改变会引起曲线的形状的改变……（下课铃响了.）

师：同学们，这节课你们通过对一道课本题的研究，发现了一个重要的命题：平面内的一个动点M（x，y）到两定点A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1

1.这里面蕴含了什么哲学原理？

2.请大家给出一个统一的圆锥曲线的定义.

综上可知，一道优秀的习题、一种较好的解法及得出的优美结论，可激发学生的兴趣，发展学生的智力，提高学生的能力.作为教师，我们应该培养学生探索研究的能力，让学生逐步形成良好的思维习惯.