合纵与联横

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合纵与联横是战国时期的苏秦、张仪用来实现自己抱负的战略思想，为中华民族的文化瑰宝，他们的故事为国人耳熟能详。

在圆锥曲线的教学中，我们也可以借鉴上述思想，对有关知识进行整合。

1 概念教学

1.1 合纵：由椭圆的第一定义可知椭圆的方程为

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a（1）

然后经过平移平方等步骤将方程（1）化简为

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2） （2）

这是解无理方程的一般步骤。由（1）化简为（2）的过程中，我们可以采用下列两种方法：

法一、因为（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，所以（x-c）2+y2、a、（x+c）2+y2成等差数列，不妨设公差为d，则

（x-c）2+y2=a-d （3）

（x+c）2+y2=a+d （4）

（3）、（4）分别平方得

（x-c）2+y2=（a-d）2（5）

（x+c）2+y2=（a+d）2（6）

（6）式减（5）式得4cx=4ad，从而

d=cax（7）

把（7）式代入（5）式与（6）式可得（x-c）2+y2=（a-

cax）2和（x+c）2+y2=（a+cax）2，

把上述两相加可得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），必须指出a>c>0，令a2-c2=b2，从而得到椭圆的标准方程是x2a2+y2b2=1，此法利用了等差数列的相关知识。

法二、因为

[（x+c）2+y2]-[（x-c）2+y2]=4cx（8）

由（1）和（8）两式可得

（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=2cxa （9）

由（1）和（9）联立求解得（x+c）2+y2=a+cxa和（x-c）2+y2=a-cxa，

上述两式平方后可得（x+c）2+y2=（a+cxa）2和（x-c）2+y2=（a-cxa）2，后面的步骤同法一。

由此法还可以得到（x-c）2+y2=ca（a2c-x），此式的几何意义就是动点P（x，y）到定点F2（c，0）的距离和它到定直线x=a2c的距离的比恰好是ca（如图1所示），对于（x+c）2+y2=a+cxa也可作类似的解释。

1.2 联横：关于椭圆的准线的概念和作法。

引入椭圆的准线概念往往是比较困难的，但本文推导椭圆的标准方程中，曾得到了

（x-c）2+y2=a-cxa，在引入准线概念时，可复述上面方程的具体几何意义。为此，设P1（x1，y1）为椭圆上任意一点，就有（x1-c）2+y12=a-cx1a=ca（a2c-x1），它的右边表示P1（x1，y1）到焦点F2（c，0）的距离，而左边a2c-x1表示P1（x1，y1）到直线x=a2c的距离。为此，我们把x=a2c叫做椭圆的一条准线（右准线），同样可以得到左准线方程x=-a2c。

由上述的推导已得到椭圆上的任意一点到焦点和到准线的距离之比为一常数cd，我们记ca=e，称e为椭圆的离心率。

对于椭圆，学生不仅要熟练地掌握它的标准方程，还要熟悉下列两个重要关系：

（1）平方关系

连结BF2就得直角三角形BOF2。

它的边分别为a、b、c，根据勾股定理就有a2=b2+c2。

（2）等比关系：焦点、顶点和对应的准线垂足H和中心O构成三条线段，它们的长度组成等比数列的三项，即|OF2|*|OH|=|OA|2，理由如下：因为|OF2|=c=a·ca， |OA|=a，|OH|=a2c=aca ，所以|OF2|*|OH|=|OA|2。

根据上面的等比关系，我们可以方便地作出椭圆的准线。作法：先过B点作y轴的垂线，再过F2作BF2的垂线和前一条直线交于K，最后过K作x轴的垂线，即得右准线。

2 性质的探求

我们知道，圆有一个十分重要的性质：过弦的中点的直径与弦垂直，并且平分这条弦和这条弦所对的弧，当这条弦作平行移动，弦所在的直线（割线）移到直径的端点时，割线变成了切线，切线垂直于过切点的直径。对于椭圆如何？椭圆的两个焦点重合于中心时，椭圆就变成圆。由此联想，圆的上述性质对于椭圆还成立吗？对椭圆双曲线、抛物线又如何呢？

3.1 合纵

性质1：椭圆x2m+y2n=1（m>0，n>0）的弦AB垂直于椭圆的任一对称轴时，其中点M与椭圆中心O的连线OMAB，否则它们的斜率kABkOM=-nm。

性质2：设中心在原点O的椭圆x2m+y2n=1（m>0，n>0）的切线为l，切点为T，那么当切线 垂直于椭圆的任一条对称轴时，则 ，否则有 。

性质3：过椭圆 上一点 的切线 的方程为x0xm+y0yn=0。

3.2 联横：

性质4：双曲线x2m+y2n=1（mn

kABkOM=-nm。

性质5：中心在原点O的双曲线 的切线为 ，切点为T，那么当 垂直于双曲线实轴时， ，否则有

性质6：过双曲线x2m+y2n=1（mn

性质7：

（1）设抛物线y2=2px（p≠0）的任一弦AB的中点为M（x0，y0），则kABkOM=px0 （AB不垂直于对称轴）。

（2）设抛物线x2=2py（p≠0）的任一弦AB的中点为M（x0，y0），则 kABkOM=y0p （AB不垂直于对称轴）。

性质8：

（1）设抛物线y2=2px（p≠0）的切线l的切点为T（x0，y0），则klkOT=px0。

（2）设抛物线x2=2py（p≠0）的切线l的切点为T（x0，y0），则klkOT=y0p。

性质9：

（1）抛物线y2=2px（p≠0）过切点T（x0，y0）的切线方程为y0y=p（x+x0）。

（2）抛物线x2=2px（p≠0） 过切点T（x0，y0）的切线方程为x0x=p（y+y0）。

参考文献

[1] 陈素芳. “谈椭圆概念教学中的一点体会”. 《中学数学》. 1991年第1期

[2] 家定. “运用数学素材进行探索性思维”. 《数学教学》. 1994年第6期.