开放经济下金融资产的相关性度量及风险分析

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一、copula函数的相关理论介绍

（一）copula的定义和Sklar’S定理

Copula函数原义是“连接”，“交换”的意思，可以理解为“相依函数”或“连接函数”，它是把多维随机变量的联合分布用其一维边际分布连接起来的函数。

二维Copula函数C是定义在I2=［0,1］×［0,1］上，满足以下条件的函数:

(1) 对任意u,v∈I,C(u,0)=0=C(0,v);C(u,1)=u;C(1,v)=v;

(2) 对任意u1,u2,v1,v2∈I,u1≤u2,v1≤v2,

有:C(u2,v2)-C(u2,v1)-C(u1,v2)+C(u1,v1)≥0。类似地也可以定义n维Copula函数。

Sklar’S定理:令F为n维分布函数，其连续边际分布为F1，F2，…,Fn，则存在函数C有下面唯一的表达式:F（x1,x2,…,xn）=C（F1（x1），F2(x2),…,Fn(xn)）

通过Copula函数C的密度函数c和边缘分布F1，F2，…，Fn，可以方便地求出n元分布函数F（x1,x2,…,xn）

的密度函数：f(x1,x2,…,xn)=c(F1(x1),F2(x2),…，Fn(xn))ΠNn=1fn(xn)

其中c(u1,u2,…,un)=C(u1,u2,…un)u1u2…un，fn(•)是边缘分布Fn(•)的密度函数。

（二） 常用的Copula族

1.椭圆Copula

椭圆Copula可以由椭圆分布得到。椭圆分布是这样的一类分布：对于d维随机变量X，如果X-μ的特征函数满足X-μ(t)=(t′Σt)。其中μ∈Rd，Σ是d×d维的非负定对称矩阵，且函数∶［0,+∞］R，则称X服从参数为μ，Σ，特征元函数为的椭圆分布。

常用的椭圆类Copula包括正态Copula和t-copula：

(1) 正态Copula (Guass Copula)

正态Copula函数即是多元正态分布相应的Copula函数。当n=2时，二元正态Copula函数的表达式为:

CR(u,v)=∫-1(u)-∞

∫-1(v)-∞12π(1-R212)12exp

{-s2-2R12st+t22(1-R212)}dsdt

(2) t-copula

当n＝2时，t－Copula为:

C′v,R(u,v)=∫v-1(u)-∞

∫v-1(uv)-∞12π(1-R212)12

{1+s2-2R12st+t2v(1-R212)}v+22dsdt

2. 阿基米德Copula (Archimedean Copula)

Archimedean Copula是应用最广泛的Copula族，主要原因是:容易构建；许多Copula函数属于此族；该族中Copula函数的相依结构差异很大；该族中的Copula函数具有良好性质。

Schweizer和Sklar给出了以下方式定义的Archimedean copula:

C(u,v)=-1((u)+(v)),0≤u,v≤1（2.1）

称为C的生成元。当(0)为有限时，由生成的Archimedean copula由的伪逆给出:

［-1］=-1,0≤t≤(0)

0,(0)≤t≤∞

常用的Archimedean copula有:

（1）Frank copula

令(t)=-Ine-θt-1e-θ-1，0∈R＼{0}，那么由2.1式可得出，

CFrankθ(u,v)=-1θIn［1+(e-θu-1)(e-θv-1)e-θ-1］

（2）Gumbel copula

令(t)=(-Int)θ，θ≥1,可得到，

CGumbelθ(u,v)=-1［(u)+(v)］=exp{-［(-Inu)θ+(-Inv)θ］1/θ}

（3）Clayton copula

令(t)=(t-θ-1)/θ,θ∈［-1,∞］＼{0}，可得到：

CClaytonθ(u,v)=(u-θ+v-θ-1)-1/θ

二、上证指数和恒生指数相关性的度量

（一） 数据的选取与基本统计分析

本文以上证综合指数的收益与香港恒生指数的收益作为样本进行建模，构造一个等权重的投资组合，旨在进一步研究两市的相关性及对资产组合进行风险分析。数据为2002年1月7日到2007年5月23日共1250个数据。将价格{Pt}定义为市场每日指数收盘价，将收益率{Rt}定义为:Rt=100(InPt-InPt-1)。X、Y分别代表上证指数和恒生指数的日收益率，EW代表等权重的投资组合的收益率。

下面我们就用偏度、峰度、J－B统计量、Q－Q图来检验两个市场收益率序列的正态性。数据的基本统计分析见表2-1。

偏度（Skewness）：由下表可知，恒生指数和上证指数日收益率序列的偏度均大于0，分布略微右偏。右偏意味着分布有一个较长的左尾，恒生、上证两市股指出现极端负收益率的可能性大于正的收益率。

峰度（Kurtosis）：由下表可知，恒生、上证两市股指的收益序列都呈明显的高峰态，且沪市指数日收益序列的峰度高于恒生指数。显示出两个收益序列的分布均具有比正态分布更厚的尾部。因此，恒生、上证两市实际出现极端收益率的概率要大于正态假定下极端收益率出现的概率。

表2-1数据的基本统计表

XYEW

Mean0.0460100.0761370.122147

Median0.0437690.0468670.092472

Maximum4.9062128.8491149.977992

Minimum-4.183578-9.256154-11.02756

Std.Dev1.0468181.4733191.939504

Skewness0.0275110.2863100.037464

Kurtosis4.6472157.5792265.581698

Jarque-Bera141.47631109.230347.4363

Probability0.0000000.0000000.000000

Jarque-Bera统计量：从上表可知，两个序列的J-B统计量分别是141.4763和1109.230，都拒绝了正态分布的原假设，而根据相应的概论值为零，同样表明至少可以在99％的置信水平下拒绝零假设，即序列不服从标准正态分布。

Q-Q图检验： Q-Q正态图实际上包含了两种图形：正态概率图和无趋势正态概率图。两个指数收益率的正态Q-Q图检验见图2-1。

图2-1上证指数收益序列的正态Q-Q检验图

从上图中可以看出，在上证指数日收益率序列的正态概率图中，图中明显发现大量的散点偏离了斜线，由散点组成的图线在两个端点都有摆动，表现为一条曲线而非直线；因此，有理由认为数据拒绝正态分布。同样，恒生指数日收益率序列的数据也拒绝正态分布。

可见，各种基本统计量的分析和检验都拒绝正态分布的假定。这样，根据正态分布假定来计算的资产的风险就会产生错误的估计结果。因此，我们有必要寻找更合适的模型，以便更好的反映收益的真实分布。

（二） copula的选择及模型的建立

本文将对Gumble copula、Frank copula、clayton Copula进行参数估计并做出检验分析，选择最合适的Copula函数用以度量上证指数和恒生指数之间的相依关系。为了比较分析，同时给出基于正态分布的Gaussian copula的估计。本文将采用Genest和Rivest非参数估计方法估计参数。

1. 秩相关系数的计算及分析

本文采用非参数方法估计参数，先估计， 可以通过下式计算出来：τ=c-dc+d=(c-d)/n2

，其中n表示序列(X,Y)的样本空间，c表示变量一致的数量，d表示变量不一致的数量。

运用matlab 7.0编程计算，估计得τ∧=0.0990。这个结果表明两个市场收益率序列的相关性并不是很强，这与我国以往金融市场比较封闭，内地与香港市场没有太大关联有关。

我们进一步将数据分成两部分，第一部分从2002年01月07日到2005年12月30日，第二部分从2006年01月04日到2007年05月23日，分别计算两个时间段的相关系数，计算结果分别为：τ1∧=0.0744，τ2∧=0.1553。可以看出τ1∧＜τ2∧，即第二个时间段的秩相关系数比第一个时间段的要大，这证实了内地和香港证券市场的关系越来越密切。因此也有理由相信，随着时间的推移，上证指数和恒生指数之间的秩相关系数也会越来越大。

2.估计Copula的参数

对于Gaussian copula，有ρ=sin(π2τ)，从而可以估计出ρ∧=0.1549。而根据前文的介绍，对于Archimedean copula，有τ=1+4∫10φ(t)φ′(t)dt，从而可以得到Copula的参数θ与τ的相关关系。

常用的二元Archimedean copula的生成函数，参数的范围和尾部相关系数表达式见表2-2。

表2-2Archimedean copula相关指标图标

Cθ(u,v)Gumble copulaClayton copulaFrank copula

φθ(t)(-Int)θ(t-θ-1)/θ-Ine-θ1-1e-θ-1

τ1-1/θθ/(θ+2)1-4θ［1-D1(θ)］

λu2-21/θ00

λl02-1/θ0

其中，Dn(x)=nxn∫x0tnet-1

dt，n是整数。

同样通过matlab7.0编程计算，参数的估计结果见表2-3。

表2-3 copula的参数估计结果

Cθ(u,v)

Gaussian copulaGumble copulaClayton copulaFrank copula

θ∧

sin(π2,τ∧)

1/(1-τ∧)2τ∧/(1-τ∧)

1-4θ∧

［1-D1(θ∧)］=τ∧

θ∧0.15491.10990.21980.8981

λu00.13266300

λl000.0427010

3.模型的检验及比较分析

本文采用Kolmogorov-Smimov (K-S)检验对模型的拟合程度进行检验。

K－S检验的基本思路是：首先，在原假设成立的前提下，计算各样本观测值在理论分布中出现的累积概率值F（x）；其次，计算各样本观测值的经验累积概率值F∧（x）；计算经验累积概率值与理论累积概率值的差；最后，计算差值序列中的最大绝对差值。其检验统计量定义为：Z=max{｜F∧（x）-F(x)｜}。Z越小说明偏离程度越低，拟合效果就越好。同时，如果Z统计量的概率P值小于显著性水平α，则应拒绝原假设，认为样本来自的总体与指定的分布有显著差异。

对三种Copula做K-S检验，结果见表2-4。

表2-4K-S检验结果

Clayton copulaGumble copulaFrank copula

Kolmogorov-Smirnov Z.612.618.535

P.849.839.937

从以上检验可以看出，Frank Copula的检验统计量Z值为0.535，是三个Copula中最小的，表示其拟合效果最好。而同时其统计量的P值为0.937，明显大于任何显著性水平。说明在样本区间内Frank Copula能够很好的度量上证指数收益率序列和恒生指数收益率序列的相依关系。所以我们选择Frank Copula对组合的风险进行度量。

三、基于上证指数和恒生指数的投资组合的风险度量分析

（一） 风险度量指标的选取

本文选择以下三个指标来进行风险分析：VaR，ES，D(X,Y)。

其中，VaR是指在一定的置信水平和一定的目标期间内，某一资产或资产组合的预期的最大损失, 用公式表示为：Prob(ΔP＜VaR)=c,其中，Prob表示资产价值损失小于可能损失上限的概率，ΔP表示资产在一定持有期的价值损失额，c表示给定点的概率。对于每一个样本中的数据对(X,Y)计算组合收益R。由此可以将求VaR值转换为计算模拟的R值的实际分位点。

ES（Expected Shortfall）最早是由Artzner，Debaen，Eber，&Heath（1999）提出来的。ES风险度量方法是在VaR的基础上发展过来的，克服了VaR存在的缺陷，其含义是：投资组合在给定置信水平决定的左尾概论区间内可能发生的平均损失，因此被称为期望损失。ES可以表示为：ESα(Z)=E［Z｜Z＜VaRα(Z)］。

而D(X,Y)用来度量组合投资是否有分散风险的作用，如果D(X,Y)＜0，则该投资组合能够起到降低风险的作用，反之则没有风险分散作用。其具体的计算公式为：D(X,Y)=VaRα(X)+VaRα(Y)-VaRα(X+Y)。

（二） 风险度量及比较分析

在本文中，首先利用估计出来的Frank Copula生成10000个随机数对(u,v)；接下来计算对应的(x,y)。我们就可以得到数据对(x,y)。接下来，给定置信水平，分别计算VaR，ES和D(X,Y)。计算结果见表3-1：

表3-1相关风险指标的计算结果

XYX+Y

0.050.010.0010.050.010.0010.050.01

0.001

VaR-2.04481339-2.606974819-3.137683397

-2.51796362-3.771169728-6.942115761-3.48906094-4.97045926-7.971378873

ES-2.555287837-3.053383715-4.105327994

-3.576351541-4.660076287-7.221285805

-4.84490012-5.987425965-8.270669204

D(X,Y)－－－－－－-1.07371607-1.407685287

-2.108420285

从表中除了可以得到风险值以外，还可以看出D(X,

Y)＜0，即将资金分别投资于X，Y的风险值VaRx+VaRY要大于投资于资产组合的风险值VaR(X+Y)，也就是说投资组合具有分散风险的作用。

为了进行比较分析，我们接下来计算传统的方法中基于正态分布假设下的VaR。单个资产的VaR的计算公式为：VaR=-ασW0。经计算得：ρ=0.160533973，σ1=1.046818，σ2=1.473319，于是，可以计算出，VaRp＝0.821015596。

通过比较分析可以看出，基于正态分布假定下计算出的VaR为0.821015596，远远低于Copula模型下的VaR，也就是说风险被严重低估。

四、结论及建议

（一）研究结论

本文通过Copula函数对上证综合指数和香港恒生指数的相关性进行研究，选择单参数Archimedean Copula函数族中适合描述金融数据的Gumble copula，Clayton copula和Frank copula函数进行数据拟合。用Genest和Rivest非参数估计方法估计参数。参数估计后用Kc函数进行均匀分布的Q－Q图检验和K-S检验以选择合适的Copula。最后，通过Monte Carlo模拟的方法对投资组合的风险进行了分析，得出了以下结论：

1. 用正态分布描述金融资产的收益率和用线型相关系数描述金融资产之间的相关性并不合适。本文的实证研究表明，用正态分布和线性相关系数来度量风险实际上会低估风险，会给投资者带来损失。

2. 用Frank Copula拟合上证指数和恒生指数之间的相依关系效果较好。由于Frank Copula具有对称的特点且上尾和下尾均不相关，这表明上证指数和恒生指数并没有明显的尾部相关性。也就是说预测到当一个股票市场发生大幅上扬或下跌时另一股票市场相应发生大幅上扬或下跌的概率不大。本文得出的这一结论与早些年之前中国股票市场没有完全开放，内地市场和香港市场相关关系不高有一定关系。而且如果需要得到更精确的结论需要将政府强制的政策性因素考虑在内。随着以后的中国金融市场的全面开放，上证指数和恒生指数之间的尾部相关性将更为突出。

（二）对相关方法应用于我国的建议

1.我国有必要构建具有国际标准的风险管理系统。Copula理论及其应用近年来在国际上取得了极大的进展，目前国内对它的研究还不多，但毫无疑问Copula理论将成为分析金融问题的有力工具，特别是在风险分析上。因此，国内在构建金融风险管理系统中，可以进行尝试性的研究和应用。

2.相关方法和理论的运用必须结合具体的实际情况。从本文的分析中可以看到恒生指数和上证指数的尾部相关性并不明显，但这只限于目前这种情况下，随着时间的推移，两个市场之间的相关关系也会发生变化，因此必须要有一种能随时间发生变化的动态的模型。此外，全球各个地区的市场之间的相关关系也是不相同。因此，有必要建立更加灵活的风险管理系统。

3.发展相关的理论与技术。本文介绍的方法为我们构建风险度量模型提供了理论依据，但是它的发展和应用还离不开边际分布模型、计算机技术、参数估计和检验方法的不断发展和完善。

（作者单位：江西农业大学南昌商学院）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。