点到椭圆的距离问题探讨
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摘要:本文讨论最远点及最近点位置的准确数值计算、最远距离及最近距离的准确数值计算问题。
关键词: 点;椭圆;距离
中图分类号:G633 文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)09-0069-02
一、面对的问题
设:在坐标系OXZ中,椭圆T的方程为:
+ =1,a
有任意已知点E(Ex,Ez)。
问题:当E点为确定位置的已知点时,求椭圆上距离E点最远的点Fa、最近的点Ji,及最远距离R、最近距离r。
下文以:a= ,b=2,Ex=8,Ez=10的情形作为计算实例。
二、一个定理的证明
如果定点T与椭圆上一点P的距离最小或最大值的话,则必然TP是过点P椭圆的法线。
具体证明如下:
定椭圆上有一点P,以定点T为圆心TP为半径作圆,使椭圆和圆在点T有一公切线:
(1)如果点T在椭圆上,点T就是所求最小值的点。
当点T在椭圆外部时,如果圆和椭圆分别在点P的公切线的两侧,此时必然TP与公切线垂直,另取椭圆上一点Q,TQ与圆相交于点U,则必然TQ>TU=TP,所以此时的TP是所求的最小值。
当点T在椭圆内部时,如果除了点P以外,所有圆上的点都在椭圆内部,另取椭圆上一点Q,TQ与圆相交于点U,则必然TQ>TU=TP,所以此时的TP是所求的最小值。如果点P关于点T的对称点Q也在椭圆上(可以证明满足这个条件的点T一定是椭圆的中心),除上述两点任何圆上的点都在椭圆内部,则点P和Q都是所求的最小值的点,证明方法与前面的类似。
(2)当椭圆上的点除点P外所有点都在圆内部时,TP就是所求的最大值。
如果点P关于点T的对称点Q也在椭圆上(可以证明满足这个条件的点T一定是椭圆的中心),除上述两点任何椭圆上的点都在圆内部,则点P和Q都是所求的最大值的点。证明方法类似于(1)。
由于满足(1)、(2)里所列条件的除了点P、T重合外的TP一定是圆的半径,所以TP一定垂直于过点P圆的切线,所以所求最值的点P与点T的连线一定与过点P的椭圆的切线垂直,此时TP就是过点P椭圆的法线。
三、函数极值分析方法
设:点H(x,z)为椭圆T上的任意一点。D为H点与E点的距离,则:
D= (2)
= (3)
令 =0,在考虑 的存在性后得到:H点可能是离E点最远或最近的点其坐标x应满足如下方程:
x4+U3x3+U2x2+U1x+U0=0 (4)
其中:
U0= Ex2
U1= Ex (5)
U2= a2Ex2+b2Ez2-(b2-a2)2
U3= Ex
用配方法求解(4),先计算判别数P0:
P0=( )3-( )U2+U1 (6)
区分P0=0及P0≠0两种情况:
1. 当P0=0及P0≠0(必须有Ex=0)时
1) 若:Ex> ,则:(0,b)及(0,-b)两点中,一个为最远点Fa,另一个为最近点Ji
2) 若:Ex
z= Ez(7)
x=+(8)
2.当P0≠0(必须有Ex≠0)时
1)先求解(4)的预备方程:
v3+V2v2+V1v+V0=0 (9)
其中:V0=-U32U0+4U2U0-U12
V1=U3U1-4U0 (10)
V2=-U2
令:v=w-V2/3 (11)
则(9)化为:
w3+pw+Q=0 (12)
其中:
P=V1-V22/3
Q=V0-V1V2/3+2V23/27 (13)
计算(12)的判别式P1:
P1=(Q/2)2+(P/3)3 (14)
计算:
I= (15)
J=-
则(12)的三个根为:
w1=I+J
w2=-(I+J)/2+(I-J) /2 (16)
从w1、w2、w3中任取一个根(不论根的虚实),代入(11)计算出v.
2)计算P2:
P2= (17)
则(4)的四个根为:
xA=- + + (18)
xB=- + -(19)
xC=- - - (20)
xD=- - + (21)
E点对应于xi(i=A,B,C,D)的z坐标zi为:
zi=b2-a2 ,a2Ex+(b2-a2)xi≠0
(22)
+, a2Ex+(b2-a2)xi=0
四、实例计算
对于计算实例,a= ,b=2P(8,10)即P点到 + =1的距离,可由函数极值分析方法的推导,可由以上公式计算得到:
根据该问题的实际意义,B、D两点为虚数,直接舍去,由表1,可直接判断出:
(-0.9592 ,-1.6653)为最远点Fa,最远距离为14.7087; (1.0140,1.6214)为最近点Ji,最近距离为10.9090。
由此可见,函数极值分析方法可准确计算出最远点、最远距离、最近点、最近距离。
另一种解法:
设x= sina,y=2cosa,则p点到椭圆的距离可以表示为:
z2=(8- sina)2+(10-2cosa)2
z2对a求导得:2sinacosa-40sina+16 cosa(a)
根据函数极值处的导数值为零,令式a式=0
解得:
表2
这种方法最后归结为求一个二元二次方程组的问题,此为此种方法的关键,计算是一个问题,笔者通过运用MATLAB解出了四个根,根据问题的实际意义舍去了其中两个无意义的虚根,得到最终的结果。
参考文献
[1]苏步青,胡和生等.微分几何[M].北京:高教出版社.1985,(5).
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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