对判别式的认识之我见

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摘要：根的判别式在一元二次方程根的情形方面有着广泛的应用，但判别式在其他方面的应用威力连许多初中数学教师都感到惊讶，其原因是我们不知道判别式的真实面目，没有认识清楚判别式的实质，也没有真正理解判别式与一元二次方程的内在联系。本文通过笔者的教学实践，揭示了判别式在其他方面应用威力所在的内在原因，对判别式有了一个更高层次的认识，达到了真正理解判别式的目的。

关键词：判别式的实质；认识；联系

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）13-0120

为了揭示判别式的真实面目，认识清楚判别式与一元二次方程的内在联系，真正理解判别式的实质，现将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）……①作如下配方：

移项，得ax2+bx=-c

方程两边都乘以4a，得4a2x2+4abx=-4ac

方程两边都加上b2，得（2ax）2+2・（2ax）・b+b2=b2-4ac

配方，得（2ax+b）2=b2-4ac

即b2-4ac=（2ax+b）2……②

对判别式的认识我们不能仅仅只看到=b2-4ac，也不能孤立的只看到②式，既要由①式往②式去看，也要由②式往①式去看，这样才能理解判别式的实质，因此本人对判别式的认识有下列五种看法。

第一，从①式到②式的演变过程来看，判别式是配方的结果，因此能用判别式法解决的问题也能用配方法解决。

例1. 若x、y为实数，且满足x2+5y2+4xy-2y+1=0，求x、y的值.

解法1：（用判别式法）x、y为实数

关于x的一元二次方程x2+4yx+（5y2-2y+1）=0有实数解

即≥（4y2）-4（5y2-2y+1）=-4y2+8y-4=-4（y-1）2≥0

（y-1）2≤0

又（y-1）2≥0，y-1=0，得y=1，从而得到x=-2.

解法2：（用配方法）x2+5y2+4xy-2y+1=0

（x2+4xy+4y2）+（y2-2y+1）=0，即（x+2y）2+（y-1）2=0

得到x+2y=0

y-1=0，解得：x=-2

y=1

第二，由②式往①式的联系来看，知道形如b2-4ac≥0或≤0的问题，可以转化为一元二次方程来解决。

例2. 已知实数a、b、c满足（b-c）2=（a-b）（c-a），求的值.

分析：本题看似与判别式无关，但由已知可转化得（b-c）2-

4（a-b）（c-a）=0，联想到=0，这样便可以用一元二次方程来解决.

解：当a=b时，可得b=c=a.故= 2.

当a≠b时，设关于x的一元二次方程为（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0

（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，即=0

方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0有两个相等的实数根

又（a-b）+（b-c）+（c-a）=0

方程的两根都为1

由根与系数的关系，得=1，得到b+c=2a，故= 2.

的值为2.

第三，从②式的结构特征来看，当x为实数时，（2ax+b）2≥0，即b2-4ac≥0。

也就是说①式中，x为实数 b2-4ac≥0。利用它能解决一元二次方程待定系数的取值范围。

例3. 求代数式的取值范围。

分析：通过换元将等式转化为一元二次方程，再利用≥0来确定范围。

解：设y=，则（2y-1）x2+2（y+1）x+（y+3）=0.

当y≠时，x为实数，=4（y+1）2-4（2y-1）（y+3）≥0

即y2+3y-4≤0.（y+4）（y-1）≤0.-4≤y≤1.

当2y-1=0时，即y=，方程有解.

-4≤≤1.

第四，从②式的整体来看，一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况等价于方程（2ax+b）2=b2-4ac的解的情况.容易得到：1.当b2-4ac≥0时，一元二次方程有实数根；2.当b2-4ac>0时，该方程有两个不相等的实数根，此时x=；3.当b2-4ac=0时，该方程有两个相等的实数根，此时x1=x2=-；4.当b2-4ac

第五，从①式的左边来看，若二次三项式ax2+bx+c是一个完全平方式，那么②式的右边就等于0，即b2-4ac=0。

例4. 已知二次三项式4x2+（m-1）x+9是完全平方式，求m的值.

解：4x2+（m-1）x+9是完全平方式

（m-1）2-4×4×9=0.即（m-1）2=144，解得m1=13，m2=-11.

例5. 已知2x2-xy-y2+2my-8能分解成两个一次因式的积，求m的值并进行因式分解.

解：设2x2-xy-y2+2my-8=0，则关于x的二次方程为2x2-yx+（-y2+2my-8）=0.

多项式能分解成两个一次因式的积

判别式是完全平方式

即（-y2）-8（-y2+2my-8）=（3y）2-2m・y・8+82是完全平方式，m=±3.

（1）当m=3时，由方程2x2-xy-y2+6y-8=0解得x=y-2或x=-y+2.

原式=（x-y+2）（2x+y-4）.

（2）当m=-3时，由方程2x2-xy-y2-6y-8=0解得x=y+2或x=-y-2.

原式=（x-y-2）（2x+y+4）.

（作者单位：广东省博罗县龙溪第二中学 516121）