一道新课标高考卷立体几何题的错因分析

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2011年高考后，本人作为评卷教师，对高考题中一道立体几何题的错解进行了整理分析.这道立体几何题题目不难，但是同学们答题中普遍存在“会而不对、对而不全”的问题.在高考中解答这道立体几何题时,大多数同学都存在着不同程度的解题错误(或失误).这些错误除同学们的心理因素所致以外,常见的主要错误及原因还有以下几种:(1) 受到思维定势的影响;（2） 未把握新旧知识的联系与区别；（3) 数学概念掌握模糊；（4） 解题策略使用不当.本文重点分析产生这些错误的原因，认识了错误的成因有助于同学们在高考中减少这些错误的产生.

2011年全国高校普通招生考试理科数学试题（新课标卷）第18题如下：

图1如图1，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.

（1） 证明：PABD；

（2） 若PD=AD,求二面角APBC的余弦值.

分析解答本道题旨在考查同学们对两个平面垂直的判定和性质的掌握，第一问考查如何将立体几何中线面垂直性质转化为线线垂直的结论，第二问考查同学们对二面角的理解.

错解一对于第（1）问，已知∠DAB=60°,AB=2AD.由余弦定理，得BD=3AD,从而BD2+AD2=AB2,故BDAD①.由PD底面ABCD，得BDPD②.由①②，得BD平面PAD，所以平面PAD平面ABD. 因此PABD.

错因分析这种解法的错因在于对线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质定理理解不清.实际上，线面垂直可以推出线线垂直和面面垂直.但线线垂直与面面垂直不能相互直接推出，必须借助于线面垂直来过渡.这里去掉“所以平面PAD平面ABD”即可.定理、公式是数学对象本质属性的反映，它是准确解题的保证和基础，但每一个公式、定理均有其成立的特定条件和背景，如果仅依靠形式上相似的条件就得到相似的结论，就会形成误用、错用定理、公式.

错解二对于第（2）问，如图2，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线DP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz.

错因分析这种解法的错因在于未把握新旧知识的联系与区别，没有把握空间直角坐标系的本质特征.同学们在课本中见过在正方体中建立直角坐标系的过程，因而很容易迁移到在四面体、四棱锥中建立起相似的直角坐标系.实际上，DP,DC,DA这三条线段并不是两两垂直的，这种建系方法本身出现了错误，从而导致了整个解题错误.

图2

错解三对于第（2）问，如图3，分别由点A，C向PB引垂线交于点E，则∠AEC即为二面角APBC的平面角.

图3

错因分析这种解法的错因在于对二面角的概念掌握模糊，错把AEPB当作是CEPB的充分条件，从而导致了解题错误.事实上，作AEPB,由已知设AD=1,AB=2，PD=1，BD=3,由勾股定理得PA=2，PB＝2，由余弦定理得

cos∠ABP=34，可得BE=32.假设CEPB成立，则在RtEBC中，BC＞BE,即1＞32,矛盾.

所以由点A，C分别向PB引垂线，不能交于点Ｅ，故∠AEC不是题中所要求的二面角的平面角.

错解四对于第（2）问，如图4，过点A作AEPB于点E，过点E作EF∥ＢＣ，交PC于点F.易证：

BCBDBCPDBC平面PBD EF∥BC

EF平面PBDEF PB，所以∠AEF就是二面角APBC的平面角.

图4

错因分析这里出现了策略性的错误（或失误）.所谓策略性错误，常常是指在解题方向上的错误，就是同学们在解题的过程中，因缺少必要的策略而导致解题过程过于复杂或解题步骤过于繁琐，计算量过大，最后导致错误.这里因为求AF长的计算量太大，因此这种做法得分率极低.其实，当题目第（1）问已经证得BDAD且BDPD后，就可以判断出此题用空间向量的方法解比较简单.一般地，若能判断出题目条件符合利用空间向量解决立体几何问题的条件，那么用空间向量解较为简洁、清晰.

正解 （1） 由已知∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD,从而BD2+AD2=AB2.故BDAD①.由PD底面ABCD，可得BDPD②.又AD与PD交于点P，由①②得BD平面PAD.又PA平面PAD，因此PABD.

(2) 如图5，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，射线DB为y轴的正半轴，射线DP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,3,0),P(0,0,1),则AB=(-1,3,0),PB=(0,3,-1),