“运动”――数学变式教学的一个诀窍

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安徽肥西第四中学231200

摘 要：辩证唯物主义认为：运动是绝对的，静止是相对的. 本文试结合校本课题研究成果及新课程教学实践，拟就如何用运动的观点进行变式教学谈点体会.

关键词：运动；变式；图形

全日制义务教育《数学课程标准》设计思路第三条明确指出：“空间观念的主要表现有几点. ……能描述事物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考.”辩证唯物主义认为：运动是绝对的，静止是相对的.数学知识是纵横贯通、前后联系的整体，而不是孤立的、静止的、不变的内容. 因此，在教学中对于某些典型命题，应该引导学生用运动的观点进行推广、引申，使其问题拓宽、加深、变活，以较少的题目，使学生获得最大的收获. 这不仅能极大地增强学生的学习兴趣，拓宽学生的解题思路，而且对提高学生的分析和解决问题的能力，发展创造性思维都能起到好的作用. 本文拟就如何用运动的观点进行变式教学谈点体会，敬请各位同行斧正.

[⇩]“运动”的点

数学是在运动中产生和发展起来的，所以在教学中要使学生在一题多变中探讨题目的本质所在，通过拓宽、加深、变化，总结规律，发现“变”的发生过程.

例求证等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.

据题意很容易作出图1，就此图形对本命题的证明亦不难，这里从略. 若把点D看成一个动点，则可做下列几种运动（其中AD为ABC的高）.

1. 点D在直线AD上运动，结论照样成立（如图2，3，4）.

[B][D][C][D][E3][D3][F3][图1][图2][图3][图4]

2 . 点D在直线BC上运动时，若点D在线段BC上，则有点D到两腰的距离和等于一腰上的高（如图5）；若点D在CB或BC的延长线上，则有点D到两腰的距离差的绝对值等于一腰上的高（如图6，7）.

[C][D][B][・][G2][F2][D2][E2][C][D][B][・][图5][图6]

[图7]

3. 把点D一分为二，分别沿BC左右运动. 若D1B=D1′C，则有D1E1=D1′F1（如图8）.

我们可以清楚地看到，当点D1，D1′分别运动到与B，C重合，E，F也分别运动到一定的特殊位置时（如图9，10，11），D1F1与D1′E1会变成ABC的什么特殊线？（ABC两腰上的高、中线和底角的平分线）

（D1）][C（D′1）][E1][F1][图8][图9]

[E1][F1][B（D1）][C（D1′）][图10][图11]

图1至图11都可借助教具演示（用电脑软件效果更佳）. 一道普通的几何题，由于我们用了“运动”的观点进行分析，使学生清楚地看到它们之间的变化规律，从中可以得到下列几个结论.

（1）由图1、2、3、4可以得到：等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线所在的直线上任意一点到两腰的距离相等.

（2）由图5、6、7可以得到：等腰三角形底边（或延长线）上任意一点到两腰的距离和（或差）为定值.

（3）由图8、9、10、11可以得到：等腰三角形两腰上的高、中线和两底角的平分线分别相等.

[⇩]“运动”的线

用运动变化的观点阐述几何定理，可借助教具通过演示，揭示知识的发生、发展过程，使学生对定理的形成过程有一个完整的认识. 例如“平行线分线段成比例定理”及其推论，可以借助教具演示，用运动变化的观点加以分析，使学生看到数学知识不再是零碎的、孤立的、静止的内容，而是一个活生生的整体.

从图中可以清楚地看到，图12中的CD向上运动，即得图13，AE逐渐向右运动，即得图14、15，而图14、15中的直线看作线段，即是图16、17. 这样，从平行线等分线段定理到平行线分线段成比例定理及其推论间的相互联系，也就跃然而出.

[⇩]“运动”的图形

命题两圆内切于点P，大圆的弦AD交小圆于B，C两点，求证：∠APB=∠CPD.

若用运动的观点对其进行变化，会得到下列几种形式.

1. 两圆内切

AD向下运动到与小圆相切时，结论成立. 即∠1=∠2（即由图18变化为图19）.

2 . 两圆相交

（1）小圆往外运动，当优弧在大圆内时，有下列两种情况：大圆的弦AD与小圆相交或相切，这时有∠1=∠2（如图20、21）.

图20

图21

（2）小圆继续往外运动，当小圆劣弧在大圆内时，有下列三种情况：大圆的弦AD与小圆相交、相切或AB与两圆相切，此时有∠BPD+∠AQC=180°（如图22、23、24）.

3. 两圆外切

小圆继续往外运动到两圆相切时，有下列三种情况，如图25、26、27，且都有∠BPD+∠APC=180°.

综上所述，一道习题，通过图形的运动则可变换出多种形式. 这对于增强学生透过现象揭示本质的洞察力，发现数学问题之间的联系，培养学生有意识地多方位、多角度考虑问题，都大有益处.

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