立体几何创新题

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立体几何历来是高考改革的一块试验田，随着高考改革的不断深入，独具匠心的立体几何试题层出不穷，常令人目不暇接、望“题”兴叹．为了让莘莘学子摸清立体几何创新题的命题规律，本刊试题研究组的老师们精选了5道别具一格的立几试题．

1． 如图1，四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD为正方形，侧棱AA′底面ABCD，AB=3，AA′=6，以D为圆心，DC′为半径在侧面BCC′B′上画弧，当半径的端点完整地划过C′E时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）

2． 如图2，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长别为3a，4a，5a（a>0）． 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是（ ）

A． 0， 3． 如图3，平面中点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，若设=x，=y，则有+=3． 试问空间中对任一经过三棱锥P－ABC的重心G的平面分别与三条侧棱交于A1，B1，C1，若设=x，=y，=z，则++=_______．

4． 如图4，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1． 设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是三棱锥M－PAB、三棱锥M－PBC、三棱锥M－PCA的体积． 若f（M）=，x，y，且+≥8恒成立，则正实数a的最小值为_______．

5． （1）如图5，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得Ai∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：Ai∈αi（i=1，2，3，4），求该正四面体A1A2A3A4的体积．

1． 半径扫过的轨迹形成的曲面为圆锥的一部分，圆锥底面是以C为圆心，CC′为半径的圆，圆锥半径DC′=3，所求曲面所对弧长为×6=，所以其面积为××3=π，选A．

2． 先考察拼成的三棱柱（如图6）全面积：S1=2××4a×3a+（3a+4a+5a）×=12a2+48，再考察拼成的四棱柱（如图7）全面积．

图7

（1）若AC=5a，AB=4a，BC=3a，则该四棱柱的全面积为S2=2×4a×3a+ 2（3a+4a）×=24a2+28；

（2）若AC=4a，AB=3a，BC=5a，则该四棱柱的全面积为S2=2×4a×3a+ 2（3a+5a）×=24a2+32；

（3）若AC=3a，AB=5a，BC=4a，则该四棱柱的全面积为S2=2×4a×3a+2（4a+5a）×=24a2+36． 又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a2+28

3． 点G是三棱锥P－ABC的重心，知+++=0，得－+（－）+（－）+（－）=0，即=（++）．又G，A，B，C四点共面（P为平面ABC外一点），得=α+β+γ（且α+β+γ=1），于是=xα+yβ+zγ=（++）．

图8

得α+β+γ=1，xα=yβ=zγ=， 有++=4．

4． 由题意得+x+y=××3×2×1=1，所以x+y=，+=+•2（x+y）=21+a++≥21+a+2=2（+1）2，即2（+1）2≥8，解得a≥1，故amin=1．

5． （1）取A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M，A2A4中点N，过三点A2，P2，M作平面α2，过三点A3，P3，N作平面α3，因A2P2∥NP3，A3P3∥MP2，所以平面α2∥平面α3，再过点A1，A4分别作平面α1，α4与平面α2平行，那么α1，α2，α3，α4依次互相平行，由线段A1A4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故平面α1，α2，α3，α4为所求平面．

图9

（2）如图9，现将此正四面体A1A2A3A4置于一个正方体ABCD-A1B1C1D1中，（或者说，在正四体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三棱锥，得到一个正方体），E1，F1分别是A1B1，C1D1的中点，EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体. 图10是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a，若A1M=MN=1，则有A1E1=，D1E1==． 根据A1D1×A1E1=A1M×D1E1，得a=． 于是正四面体的棱长d=a=，因所求体积是一个棱长为a的正方体切去四个直角正三棱锥的体积，故其体积V=a3－4×a3=a3=．