基于小波的图像压缩传感和矢量量化
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摘 要：提出基于小波的压缩传感理论和矢量量化。小波变换使输入的图像稀疏，压缩传感利用图像的稀疏性通过较少的测量来减少数据量。实验分析不同参数对重建图像质量的影响。结果表明此压缩方法获得的恢复图像的质量较高。
中图分类号：TP301
最近几年越来越多研究利用稀疏性进行信号处理。真实信号本身具稀疏性或可表示为变换域的稀疏信号。稀疏信号表示主要应用于图像压缩、恢复、信道均衡等。在信号压缩时，对采集阶段中压缩信号产生了压缩感知（简称CS）[1]。在传统的数据压缩系统中，自然信号以奈奎斯特率或更高速率采样后压缩传输或存储。近三年中，CS恢复算法利用稀疏信号结构提出了提高速度和减少测量次数的目标。本文提出了一种基于CS的图像压缩技术，结合小波变换压缩传感理论和矢量量化。用Matlab进行仿真实验，结果表明此方法有效提高压缩图像质量。本文余下部分为：压缩传感原理介绍，基于CS的图像压缩，实验结论描述及总结。
1 压缩传感原理
设X=[x1，x2，…，xN]T是一个N维信号，可以用标准正交基ψ∈RN×N表示，
x=ψθ （1）
θ=[θ1，θ2，…，θN]T是一个稀疏向量。假设θ中有 项非零项，信号X就是基ψ上的K项稀疏信号（K≤N）。假设y是X的线性投影测量形成M维矢量（M≤N），即：
y=Φx=Φψθ=Dθ （2）
Φ是一个M×N测量矩阵，D=Φψ是M×N矩阵（称为D矩阵），y是D矩阵中列的稀疏线性组合。
2 基于CS的图像压缩
图1是以CS为基础的图像压缩方案。进行图片压缩前，首先对稀疏或可压缩的信号进行处理。一般信号本身可能不是稀疏的，但通过一定的变换系数后可变为稀疏或可压缩信号。本文提出的算法采用2维离散小波变换分解原始图像产生的多尺度图像，揭示不同尺度上的数据冗余。
图1 图像压缩方案
为了形成稀疏向量，利用SPIHT（设置分区分层树）算法从多分辨率级别中挑选系数[2]。用二维离散小波变换处理图像，每一变换级别得到4个子带：一个包含了源图像粗糙近似的低通子带（简称LL子带），三个利用不同方向细节的高通子带（水平细节HL子带，竖直细节LH子带，对角线细节HH子带）。在下一级变换级，使用LL频带进一步分解并用相应的四个子带替换它。
图像被分解成不同的分辨率级别。在SPIHT算法中，除了最粗糙和最遍历级别的LL带，每个在粗糙级别的系数，可作为下一更遍历级的一个2×2块儿的父级系数。每一个粗糙级别的父级和全部的子级形成一个矢量。最粗糙级别的LL带系数会插入由相关LH带父级形成矢量的首位。图2描述利用父级-子级关系进行三级分解的图像矢量形成过程。当大小为P×Q的图像分解成n分辨率级别，获得稀疏向量的数量M和每个向量的维数N见公式：
（3）
（4）
由此可以得出，随着分辨率级别n的增长，矢量稀疏性增强，但需要以增加向量维数为代价。
图2 三级分解图像矢量形成过程
结合多个稀疏向量可以减少处理时间、降低传输比特率。从图像获得的测量向量总数：
测量向量的总数=稀疏向量数/组合向量数 （5）
测量向量减少，处理时间也相应减少。传输比特率（BR）是：
传输比特率（BR）=log2 C/（组合向量数*N）比特每像素 （6）
可以去掉部分非稀疏成分（仅包含非零项）并将多个向量形成一个单一稀疏向量，从而通过增加向量结合数量的方式提高压缩率。
3 实验结论
实验证明了本文提出的算法的有效性和执行中的参数效果。测试图像（Lena）为四个大小为256×256的图像。
图3 压缩重建Lena图
实验采用分辨率级别n=4的哈尔（Haar）小波变换[3]。在更遍历的解码级别所有系数都为零，只保留前两名最粗糙带系数。共有768个向量，每个维度N=86，结合3个向量并将测量M值取为70。矩阵D是根据N（0，1/M）绘制的独立同分布的随机高斯矩阵。
测试重建图像的结果如图3所示。结果表明本文算法与SPIHT效果近似，实际上边缘部分的效果更好一些。分析参数可得与压缩率增益相比通过组合多重向量可减少重建质量退化，这表明增加向量的数量对图像重建较为有利。
4 总结
介绍一种基于小波压缩传感的图像压缩算法。在原始域图像非稀疏，采用2D-DWT在小波域将输入图像稀疏化。使用SPIHT父级-子级关系选择小波系数形成稀疏向量。通过结合多个稀疏向量减少处理时间并提高压缩率。图像重建通过CS恢复和IDWT完成。实验结果表明，向量数目的选择要结合测量次数、矩阵D，这些因素都会影响到重建图像的质量。因此，可以通过参数的适当选择进行算法改进。
参考文献：
[1]R.G.Baraniuk，“Compressive sensing”[J].IEEE Signal Processing Mag.，vol.24，no.4，pp.118-120，Jul，2007.
[2]赵芳，屈建萍.浅谈图像压缩编码方式[J].商场现代化，2008，4（587）：386-387.
[3]贺勤，张亚东，田勇.基于DCT和小波变换的图像压缩及Matlab实现[J].大众科技，2008，107（7）：43-46.
作者简介：张雅琪（1991.12-），女，主要研究方向：多媒体、人工智能、无线通信技术。
作者单位：北京邮电大学，北京 102209