对凸函数的进一步研究

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摘 要： 本文从凸函数的基本概念出发，讨论了凸函数的14种不同定义，且对部分定义形式之间的等价性进行了完整的分析和证明，并介绍了凸函数的几何性质及其应用，对凸函数的研究有一定的应用价值.

关键词： 凸函数 连续性 可导 等价性 几何特征

1.凸函数的各种常见定义

假设I？哿R，f：IR

定义1[1]？摇？摇f在I内连续，？坌x ，x ∈I；f（ ）≤

f ，则称f为凸函数.

定义2[2]？摇？摇若？坌x ，x ，x ∈I；x

定义3[3]？摇？摇x ，x ，x ∈I；x

定义4[4]？摇？摇？坌x ，x ∈I；？坌t∈（0，1）；f（tx +（1-t）x ）≤tf（x ）+（1-t）f（x ），则称f为凸函数.

定义5[2]？摇？摇？坌x ∈I；？坌t ， t =1；有f（ t x ）≤ t （x ），则称f为凸函数.

定义6[2]？摇？摇1°？坌∈I；？埚f′ （x），f′ （x），且f′ （x）≤f′ （x）；

2°？坌x ，x ∈I；x

定义7[2]？摇？摇若f在I内存在单调递增函数φ，？埚x ∈I，？坌x∈I，有f（x）-f（x ）=？蘩 φ（t）dt，则称f为凸函数.

定义8[2]？摇？摇设f在I上连续，？坌x ，x ∈I且x

f（ ）≤ ？蘩 f（t）dt≤ ，则称f为凸函数.

定义9[5]？摇？摇若x ，…，x ∈I；

f（ ）≤ （n∈N），则称f为凸函数.

定义10[6]？摇？摇若f在I内可导，？坌x，y∈I，有f（x）≥f′（y）f（x-y）+f（y），则称f为凸函数.

定义11[6]？摇？摇若f在I内可导，且f′（x）单调递增，则称f为凸函数.

定义12[6]？摇？摇若f在I内二次可导，且f″（x）≥0，则称f为凸函数.

定义13[6]？摇？摇f为区间I上凸函数的充要条件是：函数φ（λ）=f（λx +（1-λ）x ）为区间[0，1]上的凸函数，x ，x ∈I.

定义14[1]？摇？摇f为区间I上凸函数的充要条件是：曲线f的切线恒保持在曲线的下方.

2.主要结论

定理1[7]？摇？摇若f在区间I上可导，则定义7？圯定义10.

定理2[7]？摇？摇若f在I上连续，则定义13？圯定义8.

定理3[7]？摇？摇若f在I上二次可导，则定义8？圯定义12.

定理4[7]？摇？摇定义11？圯定义2.

定理5[1]？摇？摇定义1？圯定义9.

3.性质及其应用

例：证明不等式（ ） ≤ ，a-b>0.

证明：取y=f（x）=x ，x>0，则f（x）为凸函数，应用上面的不等式，f（x）≤f（x ）+ （x-x ）.

令x = ，x = ，x= （x +x ）= ，

从而有（ ） ≤（ ） + （ - ），

化简后得：（ ） ≤ .

参考文献：

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