例谈解三角函数题,要关注角的范围

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在解决三角函数问题时,很多同学常常因为没有注意到题目条件对角的范围的限制而导致错解,下面对解决此类问题的几种方法做初步的归纳,供大家参考.

1 利用已知角的的范围,确定角的范围

例1 在ABC中，A=π4,a=2,b=1,则B=

解 由正弦定理asinA=bsinB,代入得sinB=12,由a>b,得A=π4>B,即B∈(0,π4),得B=π6

评注 由三角形中的大边对大角，可确定角的范围，不然会出现增解

例2 （2011年浙江高考题（理）6题）若0

A.33 B-33 C539 D-69

解 由0

评注 首先要发现（π4+α）-(π4-β2)=α+β2,然后确定π4+α,π4-β2的范围，进而得到cos(α+β2).

2 利用已知三角函数值，确定角的范围

例3 已知π

解 因为0

又因为sinβ=1010

因为tan(α+2β)=1,所以α+2β=5π4.

评注 本题中需根据tanα,sinβ的值,结合其范围,进一步将α,β的取值范围缩小.如果仅仅根据题目条件的角的范围求解,就会出现增解α+2β=9π4.

例4 已知α,β∈(-π2,π2),tanα,tanβ是方程x2+6x+7=0的两根,求α+β的值．

解 α+β=-3π4.详解略.

3 利用三角函数的单调性,确定角的范围

例5 已知α,β∈(0,π2),且sinα-sinβ=-12,cosα-cosβ=32,求α-β的值

解 由条件sinα-sinβ=-12

cosα-cosβ=32,两式平方相加得cos(α-β)=12.因为α,β∈(0,π2),所以-π2

评注 根据已知条件得到-π2

例6 已知tanα2=12,sin(α+β)=513,α,β∈(0,π),求cosβ．

解 由已知α,β∈(0,π),得0

若0sin(α+β)得α>α+β,所以β

评注 在此题的求解过程中,根据条件得到了0

4 利用三角形内角关系,确定角的范围

例7 在锐角ABC中, a,b,c分别是内角A,B,C所对应的边,若C=2B,则cb的范围是

( )

A.(0,2) B.(2,2)

C.(2,3) D.(1,3)

解 因C=2B,由正弦定理知cb=sinCsinB=sin2BsinB=2cosB,因为ABC为锐角三角形,所以0

评注 笔者将本题作为课堂练习让学生解答时, 多数学生能考虑到B,C为锐角,但忽略了角A为锐角,从而错选B．

例8 锐角ABC的三边a,b,c和面积S满足S=c2-(a-b)24k,且角C既不是ABC的最大角,也不是ABC的最小角,则k的取值范围是 ．

解 因为S=c2-(a-b)24k=c2-a2-b2+2ab4k=2ab-2abcosC4k=absinC2,所以k=1-cosCsinC=tanC2,根据条件,不妨设A

评注 此题虽是一个小题,但是考察的知识点很多.学生最容易犯错误的地方还是确定角C的范围．

5 利用角和角之间的相互制约,确定角的范围

例9 已知ABC中, 4sinA+2cosB=1,4cosA+2sinB=33,求角C的大小．

解 由已知条件4sinA+2cosB=1,4cosA+2sinB=33,两式平方相加,得到sinC=12,所以C=π6或C=5π6.又因为4sinA=1-2cosB>0,得到cosBπ3.所以0

评注 本题由sinC=12,知角C的值不唯一,所以如何判断C的范围就成了解决问题的关键,但已知条件中仅含有A,B,因此需要进一步挖掘条件,判断出A,B中某一个角的范围,从而求出角C的范围．