三角恒等变换与应用
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三角恒等变换是衡量考生掌握三角知识与能力的重要标志，是历年高考重点考查内容.主要形式是通过三角公式进行恒等变换达到化简、求值、证明的目的.应引起我们足够的重视a，针对三角具有“公式多、方法活、技巧强、应用广”等特点，三角恒等变换要坚持结构同化的原则，重视对“式”的变换和“角”的变换；对命题的条件和结论进行合理变换相结合解题策略.
1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.
2. 辅助角公式中辅助角的确定：asinx+bcosx=sin（x+？兹）=（其中？兹角所在的象限由a，b的符号确定，？兹角的值由tan？兹=确定）在求最值、化简时起着重要作用.
3. 由两角和、差的三角函数公式及二倍角公式进行适当的变形还可得到以下一些重要结论：
二、角的变换
已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、已知角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
点评：角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化.特别要注意根据已知条件，准确判断角所在的范围，作出单角和复角的互化，合理选择公式，快速准确地判断三角函数值的符号.
变式2. 已知sin（-x）=（0
点评：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高，此类题要求熟知三角公式并能灵活应用，合理进行等价变形（如拆角和并角，升幂与降幂），需要自己在平时练习中认真体会.
四、三角同化原则
对角、函数名、式子结构化同，切化弦
点评：三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等.（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.
变式4. 化简： .
解析：原式====1.
五 辅助角公式 换元法
例5. 求函数y=2+sinx+cosx+2sinxcosx的值域.
解析：设t=sinx+cosx=sin（x+）∈[-，]， 则原函数可化为y=t2+t+1=（t+）2+，因为t∈[-，]， 所以当t=时，ymax=3+，当t=-时，ymin=，所以函数的值域为y∈[，3+] .
点评：函数式的项中同时含有sinx+cosx（或sinx-cosx）及sinxcosx时，常设sinx+cosx=t（或sinx-cosx=t），此时，t∈[-，]，则sinxcosx=，或sinxcosx=，于是可将函数转化为关于t的二次函数问题来解决.
点评：本题主要考查三角函数的图像和性质应用.前提是通过三角恒等变形，二倍角公式降幂后最终化成y=sin （ωx+？渍）+k的形式，再充分结合图像性质解决问题.
变式6. 设函数 f（x）=sinxcosx -cos（x+？仔）cosx，
七、三角形内的恒等变换
1. 三角形内角定理的变形
由A+B+C=π，知A=π-（B+C）可得出：sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，而=-.有：sin=cos，cos=sin.
2. 三角形内较常用的恒等式
（1）sinA+sinB+sinC=4coscoscos；
（2）sin2A+sin2B+sin2C=2cosAcosBcosC+2；
（3）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（4）tantan+tantan+tantan-1=0.
点评：本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想及消元方法的应用，难度较大.
变式7. 设a，b，c分别是 ABC的三个内角 A，B，C所对的边，则a2=b（b+c）是A=2B的（ ）
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而充分条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：设a，b，c分别是 ABC的三个内角 A，B，C所对的边，若a2=b（b+c），则sin2A=sinB（sinB+sinC），则=+sinBsinC，
（cos2B-cos2A）= sinBsinC，sin（B+A）sin（A-B）=sinBsinC，
又sin（A+B）=sinC，sin（A-B）=sinB ，A-B=B ，A=2B.
若ABC中，A=2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a2=b（b+c），所以a2=b（b+c）是A=2B的充要条件，选A.
八、正、逆用两角和与差、二倍角、半角等公式进行证明恒等式
例8. 求证：-=32cos20°.
证法一：左边=-=-=======32cos20°=右边.
原式成立.
证法二：左边======32cos20°=右边.
原式成立.
点评：本题证明方向显然是从左边证到右边.同时，注意到角与函数次数的变化，运用降幂公式sin2α=，cos2α=可使等式中的角与函数的次数得到统一. 关于三角函数的化简、求值、证明问题要善于观察、联想公式之间的内在联系，通过拆、配等方法去分析问题和解决问题.证法一中的常值代换（用cos60°代），角的分拆（20°分成40°-20°，60°分成40°+20°）及公式的逆用，是实施三角变形的重要方法.
变式8. 求证：=.
证明：右端=====
===右端.
总之，三角恒等变换主要应用三角公式对三角表达式进行变形，主要考查有三种题型（求值、化简、证明），其解题关键是作角差异分析和函数名差异分析：基本思路为 “五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角. “五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效.其中蕴含了一个变换思想（找差异，抓联系，促进转化），两种数学思想（转化思想和方程思想），希望同学们平时多练习、多思考、多总结，较好地掌握此类问题的解题方法.
（作者单位：厦门大学附属实验中学）
责任编校 徐国坚