几何点组的“质心”

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摘要：本文类比物理学中“质心”的理论，建立了数学中几何点组的“质心”的理论，得到了几何点组的“质心”的一些相关性质，并对这些性质加以应用.

关键词：几何点组；质量；“质心”

我们已经知道数学为物理学的研究提供了很多的方法，其实，反过来用一些物理学原理来认识和解决数学问题往往会显得更加巧妙、简捷.

物理学里面，在对整个质点组运用动力学基本定理时，我们发现质点组中恒有一个特殊点，它的运动很容易被确定，我们把这个特殊点叫做质点组的质心. 实际上，质点组A1，A2，…，An-1，An的质心是满足下面等式的点G.

m1+m2+…+mn-1+mn・=0 （*）

其中，mi为质点Ai的质量.

对于几何中的点（几何点），我们可以根据需要理解为带有一定“质量”的质点，这样若干个质点就有一个质心. 下面类比物理学中的“质心”的理论，建立起数学中几何点组的“质心”的理论.

若没特别说明，下文都用记号mi表示几何点Ai的“质量”，其中i=1，2，…，n.

定义对于几何点组A1（m1），A2（m2），…，An（mn），若m1+m2+…+mn不为0，则称满足下面等式

m1+m2+…+mn=0的点P为几何点组A1（m1），A2（m2），…，An（mn）的“质心”，把m1+m2+…+mn的值作为点P的“质量”.

注意：物理中的质点的质量受客观条件的限制，当然要求mi>0，但在本定义中几何点的“质量”也可以为非正数，它是我们根据需要赋予的.

性质1 几何点组A1，A2的“质心”一定在直线A1A2上，特别地，若m1>0，m2>0，则它在线段A1A2上.

性质2 几何点组A1，A2，…，An的“质心”为P，对于任意点Q有

=.

性质3 几何点组A1，A2，…，An的“质心”唯一.

性质4 若几何点组A1，A2，…，An-1的“质心”为Pn-1，m1+m2+…+mn≠0，则几何点组A1，A2，…，An-1，An的“质心”是且仅是几何点组Pn-1，An的“质心”.

由性质1和性质4可得出以下推论.

推论 对于几何点组A1，A2，A3，若m1+m2+m3≠0，点P，Q分别是几何点组A1与A2和A1与A3的“质心”，则

（1）直线A3P和直线A2Q的交点O为点组A1，A2，A3的“质心”；

（2）直线A1O与直线A2A3的交点R为点组A2，A3的“质心”；

（3）点组A1，R，点组A2，Q以及点组A3，P的“质心”都是O.

1. 几何点组的“质心”在处理线段交点问题中的应用

例1（2007江西）如图1，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于M，N，若=m，=n，则m+n值为.

[M][O][B][C][N][A]

图1

解析当过点O的直线是直线BC时， 显然m=n=1. 当过点O的直线是非直线BC时，分别赋A，M，C的“质量”为（n-1）（1-m），m（n-1），（1-m）. 因为=m，=n，所以

（n-1）（1-m）+（n-1）m=0，

（n-1）（1-m）+（1-m）=0，

所以B是A，M的“质心”，mB=mA+mM=n－1，N是A，C的“质心”. 又由推论可得O是B，C的“质心”，于是mB+mC=0，（n-1）－（1-m）=0，故m+n=2.

例2 证明平面几何中的梅涅劳斯定理. 该定理如下：

梅氏定理在ABC中，设点D，E，F分别是边BC，AB，AC（或它们的延长线）上的点，D，E，F三点共线当且仅当・・=－1（此等式中的线段为有向线段）.

证明如图2所示，设直线DE交直线AC于H，=s，=t，=r. 当赋予A，B，D适当的“质量”使得E，C分别是A与B和B与D的“质心”时，由推论便知H为A，C的“质心”.

[A][E][B][C][D][G][H][F]

图2

于是，由=s，=t可得，+s=0，（1+t）+（-1）=0. 当分别赋A，B，D的“质量”为1，s，－s（t＋1）时，就有mA・=mB・，mB・=mD・，于是E，C分别是A与B和B与D的“质心”，所以mC=mB+mD=－st，H为A，C的“质心”，因此mA+mC=0，r=. 设=q， D，E，F三点共线当且仅当F与H重合，若F与H重合，则有q=r=⇒s・t・q=-1⇒・・=－1. 即是说D，E，F三点共线当且仅当・・=－1，故命得证.

在用几何点组的“质心”处理线段交点的问题时，应注意体会给几何点赋质量的原则. 另外有兴趣的读者不妨用例2的方法证明一下塞瓦定理，一定会有收获！

在物理学中我们利用（*）式的分量形式，可以得到计算质心的坐标公式（二维的）：

利用此公式可以求解几何点组“质心”的坐标. 如果用这个公式求解解析几何的线段交点的坐标，就会避免过于复杂的运算（具体例题可详细参考《数学教学通讯》第225期戴宇老师的文章“质点组的质心公式的应用”中的例1）. 实际上，质心的坐标公式是三角形重心坐标公式的推广.

2. 几何点组的“质心”在三角形的“心”中的应用

例3 O为ABC内满足+2+4=0的一点，若ABC的面积为14，则OAB的面积是.

解析如图3所示，延长CO交AB于点D. 分别赋A，B，C的“质量”为1，2，4，由于+2+4=0，所以O为A，B，C的“质心”. 由推论知D，O分别是A与B和C与D的“质心”，所以mD=mA+mB=3，mC+mD=0，=，于是==，则OAB的面积是8.

[D][B][C][O][A]

图3

关于例3，有更一般的结论. 设O为ABC内满足r+s+t=0的点， 则SOBC : SOAC : SOAB : SABC=r : s : t : （r+s+t），于是有SBOC+SCOA+SAOB=0. 此结论按照例3的思路很容易证明.

在上面结论的铺垫下容易得到三角形五“心”向量形式的充要条件.

例4 设O为ABC所在平面上的一点，则

（1）O为ABC的重心⇔ ++=0；

（2）O为ABC的外心⇔sin2A・+sin2B・+sin2C・=0，

O为ABC的外心⇔（tanB+tanC）・+（tanA+tanC）・+（tanA+tanB）・=0；

（3）在非直角三角形中，

①O为ABC的垂心⇔tanA・+tanB・+tanC・=0；

②O为ABC的内心⇔ sinA・+sinB・+sinC・=0；

③O为ABC的旁心⇔-sinA・+sinB・+sinC・=0，

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O为ABC的旁心⇔sinA・-sinB・+sinC・=0，

O为ABC的旁心⇔sinA・+sinB・－sinC・=0.

证明（1）略.

（2）必要性. 由O为ABC的外心得

OA=OB=OC，∠AOB=2∠C，

∠BOC=2∠A，∠COA=2∠B，

所以sin2A・+sin2B・+sin2C・=0.

充分性可由“质心”的唯一性证得.

另一充要命题可利用等式sin2A : sin2B : sin2C=（tanB+tanC） : （tanA+tanC） : （tanA+tanB）进行证明.

（3）必要性. 如图4所示，H是ABC （不妨设∠A>90°）的垂心，连结AH，BH，CH，分别交BC，AC，AB（或它们的延长线）于D，E，F，分别赋A，B，C的“质量”为tanA，tanB，tanC. 由AD=tanB・BD=tanC・CD，tanB・+tanC・=0得D是B，C的“质心”. 由BE=－tanA・AE=tanC・CE，可得tanA・+tanC・=0，故E为A，C的“质心”，所以BE，AD的交点H为A，B，C的“质心”，所以有tanA・+tanB・+tanC・=0.

充分性可由“质心”的唯一性证得.

[H][E][F][A][B][D][C]

图4

上述五“心”向量形式的充要条件会给我们研究五“心”的位置及其相互关系带来方便. 下面就用欧拉定理的证明来说明这一点.

例5 欧拉定理ABC的外心、质心、垂心分别为O，G，H，则O，G，H共线且OG=GH.

证明在直角三角形中，该定理显然成立. 下面讨论ABC为非直角三角形的情形.

因为G为ABC的重心，所以++=0. 若赋A，B，C的“质量”都为1，则G为A，B，C的“质心”. 由性质2得

=.

因为H为ABC的垂心，所以tanA・+tanB・+tanC・=0. 分别赋A，B，C的“质量”为tanA，tanB，tanC，则H为A，B，C的“质心”. 由性质2得

又因为O为ABC的外心，所以

（tanB+tanC）・+（tanA+tanC）・+（tanA+tanB）・=0.

于是可得

综上，欧拉定理得证.

3. 利用几何点组的“质心”认识Jenson不等式

凸函数定义设函数f（x）在区间I上有定义. 若对任意的x1，x2∈I 和任意的t∈（0，1），有

f（tx1+（1－t）x2）≤tf（x1）+（1－t）f（x2），则称f（x）在区间I上是凸函数.

[A1][A2][B][A][x1][x][x1][x2][x][O][y][f（x）][・][・]

图5

根据凸函数的定义容易得到其几何意义为：函数曲线上任意两点A1与A2之间的弧段位于线段A1A2的下方，函数曲线上方的任意点与函数曲线上任意点的连线在函数曲线的上方（如图5）.

Jenson不等式若函数f（x）在区间I上是凸的， 则有f（q1x1+q2x2+…+qnxn）≤q1 f（x1）+q2 f（x2）+…+qnf（xn），

其中，xi∈I，qi>0，i=1，2，…，n，且q1+q2+…+qn=1.

我们一起来认识（也许谈不上严格证明）：记A1（x1，f（x1）），A（x2，f（x2）），…，An（xn，f（xn）），赋Ai的“质量”为qi，i=1，2，…，n.利用质心的坐标公式，可得点组A1，A2，…，An-1，An的“质心”G的坐标为（q1x1+q2x2+…+qnxn，q1f（x1）+q2f（x2）+…+qnf（xn））. 记点组A1，A2，…，Ai的“质心”为Pi，i=1，2，…，n，则由性质4知A1，A2，…，As的“质心”Ps为As，Ps-1的“质心”，s=3，4，…，n. 由性质1知P2在线段A1A2上，又由凸函数的几何意义，可得P2在函数f（x）曲线的上方. 由此可知，点组A1，A2，A3的“质心”P3既在线段P2A3上，也在函数f（x）曲线的上方…点G在函数f（x）曲线的上方，所以f（q1x1+q2x2+…+qnxn）≤q1f（x1）+q2f（x2）+…+qnf（xn）.

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