评讲一道平抛运动报值题

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题目 如图1，直角墙边斜拉绳[AB]与水平地面成[45°]，绳 [图1]上端[A]点到墙角地面距离为1m，[A]点正下方的[C]点到地面距离为0.8m. 现有一蜘蛛从[C]点以水平初速度[v0]弹出，不计空气阻力，取[g]=10m/s2，要使蜘蛛能抓到斜拉绳，它弹出的水平初速度[v0]至少应为（ ）

A. 1m/s B. 2m/s

C. 2.5m/s D. [5m/s]

错解 蜘蛛从[C]点弹出做平抛运动，落地时间

[t=2hg=2×0.810]=0.4s

[t]一定，初速度[v0]越小，水平位移[x]越小，最小射程即达[B]点

[v0=xt=10.4]=2.5m/s.

错因 不知道物体做平抛运动的轨道由初速度决定. 初速度 [图2] 不同，轨道也不同. 如果[v0=]2.5m/s，运动轨道与给定的斜拉绳[AB]直线将有两个交点，如图2，蜘蛛可以抓到[AB]绳，但这个初速度不是所求最小速度.

正解 方法一：利用运动分解 [图3]. 采取“斜正交分解”，将蜘蛛的平抛运动分解为沿[AB]直线斜向下的匀加速直线运动（初速不为零）和垂直[AB]向上的“类竖直上抛运动”，如图3. 在[y]方向上，蜘蛛做“类竖直上抛运动”，

初速度[v0y=v0sin45°]

加速度[ay=gcos45°]

蜘蛛能抓到斜拉绳的条件：上升的“最大高度”不得小于[H=ACcos45°]，即应有

[0-v20y=-2ayH]

联立解得蜘蛛弹出的初速度至少为[v0=]2m/s.

方法二：抓住蜘蛛刚好能够触及斜拉绳的特征条件，即运动轨道与斜拉绳相切，对应的初速度为最小. 同时，利用平抛运动的重要推论简化计算：

“ [图4] 物体在平抛（类平抛）运动过程中，若某时刻速度方向与水平方向的夹角为[α]、位移与水平方向夹角为[β]，则有[tanα=2tanβ]，该时刻速度的反向沿长线过水平位移中点”，作出图4，则有

[x=2AC=0.4m=v0ty=h=AC=0.2m=12gt2]

联立解得[v0=]2m/s

方法三：先建立蜘蛛的初速度[v0]与到达绳上位置的关系，再利用重要不等式性质求解.

设蜘蛛到达斜拉绳位置与[C]点的高度差为[h]，由于斜拉绳倾角为[45°]，则水平位移为

[x=h+0.2=v0t]

又[h=12gt2]

联立得[v20=5h+2+0.2h]

由于[5h×0.2h=1]，积一定，则[5h=0.2h]，即[h=]0.2m时，其和最小，[v0]最小，可得[v0=]2m/s.

方法四：利用解析几何知识求解.

建立图5的平面坐标 [图5] 系[xOy]，则斜拉绳[AB]的直线方程为：

[y=x]，斜率[kAB=1]

蜘蛛运动满足：

[x=v0ty=0.2+12gt2]

得蜘蛛运动的轨道方程为[y=0.2+5（xv0）2]

求导得，该轨道的切线方程[y=10xv20]

设抛物线轨道上点[（x1，y1）]的切线与直线[AB]重合，即最小初速度对应的轨道刚好与斜拉绳相切，切线与斜拉绳直线[AB]的斜率相等，则有

[y1=10x1v20=1]，[x1=10v20]

代入[y1=0.2+5（x1v0）2]，得[y1]=0.4m

又切点同时在直线[AB]上，[y1=x1]，故[x1]=0.4m

得[v0=]2m/s

答案 B

小结 本题属物理极值类问题. 物理极值问题的处理方法基本分两种：一是物理方法――关键是抓住“极值状态的特征条件”，故也被称条件极值法，如上述方法一和二；二是数学方法――先把物理问题转化为数学问题，再借助数学工具求解，如上述方法三和四.

拓展 如果蜘蛛弹出的初速度为[v0]=1m/s（

方法一：物理方法

同理，采取“斜正交分解”， 在垂直[AB]斜向上的方向上：

初速度[v0=v0sin45°]

加速度[ay=gcos45°]

上升的“最大高度”为[H=v02y2ay=][240]m

故蜘蛛与斜拉绳直线[AB]相距最近为[d=ACcos45°-H]=[3240]m.

方法二：数学方法

由蜘蛛的运动规律：

[x=v0ty=0.2+12gt2]

得其轨道方程[y=0.2+5（xv0）2=0.2+5x2]

求导得，该轨道的切线方程：[y=10x]

该轨道的切线与斜拉绳[AB]平行，斜率相等时，相距最近，即[10x1=1，x1=0.10m]，代入轨道方程得[y1=0.25m]，亦即轨道上距离斜拉绳[AB]最近的点是（0.10m，0.25m）.

再利用点[P（x0，y0）]到直线[Ax+By+C=0]的距离公式[d=Ax0+By0+CA2+B2]，得蜘蛛与斜拉绳直线[AB]相距最近为：

[d=1×0.1+（-1）×0.25+012+（-1）2=3240]m.

1. 如图6，在倾角为[θ]的斜面上，从[M]点以水平速度[v0]抛出小球，到达距离斜面最远的[G]点时 [图6]间为[t1]，速度为[v1]，相对[M]点沿斜面向下的位移为[s1]；落到斜面上[N]点总时间是[t2]，速度为[v2]， 相对[M]点沿斜面向下的位移为[s2]. 以下关系成立的是（ ）

A.[2t1=t2] B.[v1t1=s1]

C.[2v1=v2] D.[v1t2=s2]

2.在光滑水平面内，一质量为 [图7] [m]=1kg的质点以[v0]=10m/s沿[x]轴正向运动，经过原点后受到沿[y]轴正向的恒力[F]=5N作用，直线[OA]与[x]轴成[37°]角，如图7. 求质点与直线[OA]相交前的最大距离. [图8]

3.长为[L]的细绳一端固定于[O]点，如图8，另一端栓一质量为[m]的小球，把线拉至最高点[A]以[v0=12gL]水平初速度弹出，小球运动到最低点[B]时，绳中张力多大？

1. AD 2. 4.5m 3. [TB=5716mg]