让我们像希尔伯特一样思考
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大卫•希尔伯特，德国著名数学家，是19世纪末20世纪初最具影响力的数学家之一。他提出的23个数学问题，深刻地影响着现代数学的发展。他在谈到数学学习时，有一段精辟的概述：“当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢？往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。”
同学们，你们在高中的数学学习和高考的数学复习中是否也有同感？
其实，希尔伯特告诉我们，在学习数学时必须掌握一种重要的解题思想――化归。化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略；我们总希望将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间的相互联系、相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。
1. 数形转换，实现化归
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
问题1 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，设a
分析 本题的关键是如何去掉绝对号，右边可以排序处理，而左边应考虑函数的单调性了。注意到定义域为(0,+∞)，f′(x)=a+1x+2ax=
2ax2+a+1x.
当a
不妨设x1>x2，从而x1，x2∈（0，+∞），|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，
问题转化为x1,x2∈（0，+∞），f(x2)-f(x1)≥4(x1-x2)，
我们如果从直线的斜率公式考虑，则可以把f(x2)-f(x1)≥4(x1-x2)变形为：
f(x2)-f(x1)x2-x1≤-4，
注意到割线的斜率可以唯一对应与此割线平行的切线的斜率，问题又可以转化为当f′(x)≤-4在（0，+∞）恒成立时，求实数a的取值范围.
由f′(x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x≤-4在（0，+∞）恒成立，
可得a≤-4x+12x2+1=(2x-1)2-2(2x2+1)2x2+1=(2x-1)22x2+1
-2在（0，+∞）恒成立，
故a的取值范围为(-∞,-2］.
当然，右边也可以通过求导来处理.
2. 构造函数，实现化归
在数学解题中，根据其结构的特征，构造新的函数，也是实现化归的有效途径。我们接着问题1的讨论。
如果我们从结构的相似性考虑，则f(x2)-f(x1)≥4(x1-x2)又可变形为：
f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1，
由此可以构造函数，令g(x)=f(x)+4x，这样，问题又可转化为
g(x)
在（0，+∞）上单调递减，
因g′(x)=a+1x+2ax+4，即a+1x+2ax+4≤0在（0，+∞）恒成立，
从而a≤-4x+12x2+1=(2x-1)2-2(2x2+1)2x2+1=(2x-1)22x2+1-2在（0，+∞）恒成立，
故a的取值范围为(-∞,-2］.
3. 换元思想，实现化归
换元思想，也是解题的重要思想。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
问题2 已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R).若a
分析 类似于问题1，易知当a
f(x1)≤41x1-1x2。
我们从结构的相似性入手，可以转化为f(x2)+4x2≤f(x1)+4x1，考虑函数g(x)=f(x)+4x的单调性即可。
但我们是否也能像刚才那样，从直线的斜率公式入手呢？
将f(x2)-f(x1)≤41x1-1x2变形为f(x2)-f(x1)1x2-1x1
≥
-4后，形式上不像！怎么办呢？
我们尝试换元，令t=1x∈1,+∞，则g(t)=f1t=1t+alnt-1，从而问题迎刃而解。答案为-3≤a
4. 特殊和一般，实现化归
辩证唯物主义告诉我们，矛盾的普遍性和特殊性的关系即共性和个性、一般和个别、绝对和相对的关系，它们既有区别，又有联系。任何事物都是普遍性和特殊性的统一。普遍和特殊的区别是相对的，在一定条件下可以相互转化。数学也不例外，通过下面的例子，我们可以清楚地感受到，从特殊到一般，数学问题是怎样演化的。
问题3 若0
本题是以余弦函数的等式作为条件，去证明正切函数的不等式，有一定的思维跨度和难度。请同学们类比联想一下，是否有过相似的题型、相似的结构、相似的方法？可以从条件中得到些什么启示？
由cos2x+cos2y+cos2z=1，试着构造一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体，其中x、y、z分别为从同一顶点出发的对角线与三条棱的夹角。这样可求出：
tanx=b2+c2a≥2bca，
tany=c2+a2b≥2cab，
tanz=a2+b2c≥2abc.
三式相乘即得tanxtanytanz≥22，当且仅当a=b=c即x=y=z时取等号.
想到由等式的特征去构造图形，选准了突破口，独辟蹊径。同学们也可以清楚地看到，三角函数式与几何背景的相关性。那么，是否有其他解法呢？
我们用均值不等式试试：由cos2x+cos2y+cos2z=1，得：
sin2x=1-cos2x=cos2y+cos2z≥2cosycosz，
sin2y=1-cos2y=cos2z+cos2x≥2coszcosx，
sin2z=1-cos2z=cos2x+cos2y≥2cosxcosy.
三式相乘得：
sin2xsin2ysin2z≥8cos2x
cos2y
cos2z.tanxtanytanz≥22，当且仅当x=y=z时取等号.
清新自然，简洁明了！具有一般性。
同学们，数学学习是一个高度思维化的复杂过程，建立在化归基础上的学习过程，是一个化繁为简的过程，是一个寻找规律、逼近规律的过程。因为，通过科学有效地化归，既可以发现表面上互不相关的数学知识之间有多方面内在联系，又可以在数学知识的多样性与统一性之间架起桥梁，还可以进行多层次和多方位的类比与推论，概括数学知识的共同属性与本质，从而找出规律并形成能力。
因此，在数学学习和高考复习中，突出化归意识，注重转化途径的积累，能够给予同学们匠心独运、别有洞天之感，能够唤起同学们的惊异感和想象力，能够使大家茅塞顿开，豁然开朗。从而使同学们的一言一行都是出自内心真实的感受，所表达的一切都是从心灵深处流溢出来的真实之感，没有矫揉造作、故作姿态，有着自然、真切与和谐之美。更有助于同学们拓宽思路、增强联想能力、推理能力及创造能力，从而促进数学学习的高效率。
(作者：姚亚军，江苏省震泽中学，高级教师；陈容，江苏省震泽中学，党委书记)