千万别因“小”失“大”
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇千万别因“小”失“大”范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
正弦定理和余弦定理是我们解三角形的两个有力工具.但在利用这两个定理解题时，若审题不清或考虑不周，就会出现一些错误.
一、不熟三角变换
例1在ABC中，若tanAtanB=a2b2，试判断 ABC的形状.
错解尝试将边转化为角来考虑.
由正弦定理，得 = ，于是有 = . 因为A，B为三角形的内角，所以sinA>0，sinB>0，所以 = ，即sinAcosA=sinBcosB，从而sin2A=sin2B，得2A=2B，即A=B，所以ABC是等腰三角形.
剖析由sin2A=sin2B，得2A=2B，即A=B，所以 ABC是等腰三角形.这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏.
正解因为sin2A=sin2B，所以2A=2k+2B，或2A=2k+2B（k∈Z）. 又0
反思三角变换是解三角形的基础.本题中由sin2A=sin2B，若能联想到满足此式的角2A与角2B的终边相同，或关于y轴对称，则易得2A=2k+2B，或2A=2k+2B（k∈Z）. 想想看，若有cos2=cos2，tan2=tan2，结果又是怎样的呢?
二、忽视隐含条件
例2在ABC中，已知A=45，a=2，b=，求B.
错解由正弦定理，得=，于是sinB=. 又因为0B
剖析上述解法中，忽视了已知条件b
正解因为A=45，所以B=150是不符合要求的，于是B=30
反思对于在已知两边及其中一边所对角的条件下求其他边角的问题，利用正弦定理求角时，要注意分析隐含条件，不能出现漏解或多解的情况.本题利用“大边对大角”对角进行了取舍，“b
例3在ABC中，若C=3B，求的取值范围.
错解由正弦定理，知=，可得=. 又C=3B，所以== =cos2B +2cos2B=4cos2B1. 由0≤cos2B≤1，得1≤4cos2B1≤ 3. 又c>0，b>0，所以>0，所以0
剖析上述解法中，忽视了对B的取值范围进行讨论而致错.
正解因为A+B+C=，C=3B，于是A+B+3B =，B+3B
反思由以上两例，可见在解三角形时，条件所给的边边关系、角角关系、边角关系往往“深藏”着正确解题的关键条件，同学们在解题时一定要“擦亮慧眼”，注意这些小细节，否则极易产生错解.
三、没有进一步考虑制约条件
例4在ABC中，c=+，C=30，求a+b的最大值. （公式sin+sin=2sincos可选用）
错解因为C=30，所以A+B=150，B=150A.由正弦定理，得 == ，所以a=2（+）sinA，b=2（+）sin（150A）. 又sinA ≤1，sin（150A）≤1，所以a+b≤2（+）+2（+）=4（+），即a+b的最大值为4（+）.
剖析上述解法中，未弄清A与150A之间的关系，这里A与150A是相互制约而不是相互独立的两个量，所以sinA与sin（150A）不能同时取得最大值1，因此所得的结果是错误的.
正解a+b=2（+）sinA+2（+）sin（150A）=2（+）[sinA+sin（150A）]=4（+）sin75cos（A75（8+4）cos（A75）+4，当且仅当A=75时取等号，故a+b的最大值为8+4.
反思在解三角形时，必须注意三角形中的边角等量关系、不等关系及内角和关系等，它们往往是相互制约的，这些“细节”容易被忽视.
四、解题过程不完整
例5已知a，a+1，a+2为钝角三角形的三边长，求实数a的取值范围.
错解易知a+2为最大边，设它所对的角为，则由余弦定理，得cos= =
剖析上述解法中，只考虑了最大边a+2所对的角为钝角，而忽视了三边a，a+1，a+2构成三角形的条件.
正解还应该注意“在三角形中，两边之和大于第三边”这个隐含条件，故a+21. 因此实数a的取值范围是（1，3）.
反思三条线段欲构成钝角三角形，要满足两个条件:①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是钝角. 这两个条件缺一不可.设计出完整的解题过程，是正确解题的关键，这个解题前的细节，你重视了吗?
五、解决实际问题时忽略实际情况
例6在某花卉展览会上，有一块边长为1的等边ABC的土地. 现计划在其上种两种不同的花卉. 图1中的PQ将两种花卉隔开，并要求将土地分成面积相等的两部分.若PQ位置放水管，为了省钱，希望最短，应该怎样确定PQ的位置?并说明理由.
错解要求的是PQ的最小值，可以适当选择自变量x，尝试建立PQ关于x的函数关系式PQ=f（x）来求解.
ABC的面积S=，APQ的面积SAPQ=APAQsin60 S= ，所以APAQ=.
设AP=x，PQ=y，则AQ=.
由余弦定理，得y2=AP2+AQ22APAQcos60，可得y2=x2+= +①. 于是当x=，即x=时，y有最小值. 此时AP=AQ=PQ=，即APQ也是正三角形.
剖析这里虽然结果正确，但是过程却很不严密.错因是:当选择线段AP长为自变量，即设AP=x，利用余弦定理，建立函数关系PQ=f（x）来求解时，忘记考虑定义域，即没有考虑x的取值范围.
正解注意到AQ=≤1，所以≤x≤1. 由①知当x=，即x=∈时，y有最小值.
反思本题是通过建立函数模型求解的，其关键是适当地选择自变量，建立目标函数，并求出函数的定义域.求定义域这个细节你注意到了吗?
从上述各例中我们可以看到，对于上述几类错误，只要我们稍加注意，就完全可以避免，因此在解题时，我们要养成认真审题、周密思考的习惯，千万不要因“小”失“大”！
1. （1）在ABC中，已知B=30，b=3，c=3，则a=______________；
（2）在ABC中，已知a=2，b=2，C=15，则A=____________.
2. 若a，b，c是三角形的三边长，证明长为，，的三条线段能构成锐角三角形.
3. 在不等边ABC中，a为最大边，如果a2
4. 如图2，在等边ABC中，AB=a，O为三角形的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求+的最大值和最小值.
1. （1）a=6或a=3；（2）30.
2. 提示：不妨设0c，于是cos>0.
又因为+= = =+>0，所以长为，，的三条线段能构成锐角三角形.
3. .4. 最大值为，最小值为.