同质异构音组(Z关系对)中的对斜包含关系
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摘要：在音级集合理论的复合型K、Kh关系中，两集合的关系建立在包含关系与补关系基础之上。在汉森理论的互补映射理论中，两互补音组（集合）不仅通过映射方法建立关系，且将同质异构音组（Z关系对）放置在包含关系与补关系中，计算出了一对同质异构五音组通过连接六音组与其互补七音组构成一组特殊的对斜包含关系音组。如果将汉森的互补映射理论与音级集合复合型理论结合观察这种对斜包含关系可知，所有同质异构四、五音组均可通过连接六音组与其互补音组构成对斜包含关系。
关键词：汉森理论；音级集合理论；同质异构音组/Z关系对；互补关系；对斜包含关系
中图分类号：J614.8文献标识码：ADOI：10.3969/j.issn1003-7721.2014.01.005
作者简介：（1981～），女，南京艺术学院音乐学院2011级博士研究生（南京 210013）。
收稿日期：20130315
美国作曲家、作曲理论家霍华德·汉森（Howard Hanson，1896-1981）在1960年出版的《现代音乐中的音高材料—十二平均律资源》①[1]（以下简称《音高材料》）全面阐述了十二平均律音阶范围内的音高材料问题，其理论内容被简称为汉森理论。在著作中汉森采用映射的方法②从简单到复杂地具体阐释了音与音组合的全部222个组合形式，为作曲者提供了一个较为完整的音高材料“资源库”。在这个庞大的音高材料库中，汉森重点阐述了六音组③的演算过程，并对六音组进行详细地分类，尤其对其中同质异构音组（isomeric sonorities）的两种类型划分更加明确了音组材料的具体属性，具有实际应用意义。笔者比对阿伦·福特的音级集合理论观察汉森理论阐述的同质异构音组发现，汉森阐述了复合型理论中K、Kh关系之外的互补包含关系。本文就这两种理论在同质异构音组范围内对笔者的启发进行讨论，以期为创作提供一些思路。
为了便于理解，首先将音级集合与汉森理论术语的对应关系做如下介绍：
1.音级集合（pc set）——音组（sonority）（音组有广义和狭义之分，广义的音组指同样数量的音组成的集合总称，狭义音组指单一集合）；
2.音程级（ic）1、2、3、4、5、6——基本音程d、s、n、m、p、t（小二度、大二度、小三度、大三度、纯五度及三全音）；
3.音程涵量（向量，interval vector）——音程分析（式）（interval analysis）（向量的顺序为dsnmpt或123456，音程分析式的顺序为pmnsdt或543216，且在字母的右上角标记数字说明各音程的数量）；
4.反演（inversion）——对合（involution，包括单音组的对合结构和音组间的对合关系）；
5.对称性（symmetric property）——同构对合（isometric，指单音组）；
6.Z关系对（Z-related pair）——同质异构音组（isomeric sonorities）；
7.补集（complement set）——互补音组（complementary sonorities）。
由于汉森理论的音组名称为其构成式，需要了解该音组的计算过程才能够理解，结合音级集合理论更难以清晰表达，为了便于讲述，本文以集合名称代之。
一、汉森理论中的互补映射理论
互补映射理论是汉森理论中极其重要且比较复杂的理论。
在汉森理论中，映射是获得音与音组合的最基本方法，包括单音程映射、三音组映射、两音程的组合映射、对合映射到互补映射。单音程映射是指将各基本音程做同向叠加，构成的音组具有该音程的特点；三音组映射是将由三个音程构成的三音组在它所包含的三个音上分别构成该音组的结构而叠加构成音组；两音程的组合映射是由两个不同的音程按照单音程映射后相加构成音组；对合映射是在某音的上、下两个方向进行单音程或多音程映射再叠加获得音组的过程；互补映射是在映射的基础上加入了互补关系，以大三和弦 C4E3G为例（C音开始的十二音列），其音程分析式是pmn，互补音组为九音组F2bE1D1bD2B1bB1A1bA2bG，音程分析式为p7m7n7s6d6t3④，较pmn的每一项均多6个音程，具有同样性质。该九音组的对合音组C2D1#D1E2#F1G1#G1A2B（即以C音开始按照其音程列上行排列）被称为大三和弦的映射九音组⑤（projection of the major triad），事实上它是大三和弦的映射。这一规律在其他基数的音组中也适用。
上述互补九音组的排列顺序是按照原音组映射叠加到最后一个音（第十二个音）开始下行顺序排列的，这个音叫做转化音（converting tone）。在不同音程映射的音组中转化音有所不同，纯五度映射的转化音为F；小二度映射的转化音为B；小三度映射的转化音为B；大二度映射的转化音是除该六音组之外的任何一个音，共6个；大三度映射的转化音有3个；三全音映射六音组有2个。
由多种音程组成的音组作为原音组来计算其转化音也按照同样的方法，如五音组C2D2E3G2A的转化音是在C、D、E、G、A各个音上构成与该音组结构相同的音组，所得到的最后一个音是F，F便是该音组的转化音，其互补七音组下行排列为F2bE2bD2bC1bB2bA2bG。因此，从C音开始按照此音程列顺序上行排列得到该五音组的映射七音组为C2D2E2#F1G2A2B。
此外，汉森的互补映射理论中还有一个重要概念：连接六音组（connecting hexad）。连接六音组指任何包含某五音组并且包含于该五音组的映射七音组的六音组[2]，五音组与其映射七音组可以通过连接六音组建立起包含与被包含的关系。如六音组C2D2E3G2A2B，p5m2n3s4d（6-32）作为五度映射构成的五音组C2D2E3G2A，p4mn2s3（5-35）和该五音组的映射七音组C2D2E2#F1G2A2B，p6m3n4s5d2t（7-35）的连接六音组，它包含前者且包含于后者，将两者联系在一起，似过渡音组。同样，其互补六音组F2bE2bD3bBbA2bG（6-32）也是原五音组的互补七音组F2bE2bD2bC1bBbA2bG（7-35）与映射七音组的互补五音组F2bE2bD3bBbA（5-35）的连接六音组，如谱例1：
谱例1连接六音组
在所有六音组中，无同质异构的20个六音组无一例外地可以作为与他们相关的五音组和七音组的连接六音组，并且也可以作为其他基数的互补音组间的连接六音组。然而，其余具有同质异构六音组的15对六音组中有个别音组可以与其对应的同质异构四、五音组构成对斜包含关系，这是本文下面重点讨论的问题。
二、同质异构音组（Z关系对）
在十二平均律音阶或近似于十二平均律音阶范围内，如果重复、倒影、移位等不计算在内的话，所有音高组合可简化为222个，其中有19对同质异构音组，包括1对四音组，3对五音组和15对六音组。在这222个音组中，如果用音级集合理论理解，每两个相同基数且音程涵量相同的音组或存在着以下三种关系：1.移位关系；2.反演关系；3. Z关系，即音程涵量相同但结构不同的同质异构关系。但在汉森理论中，以六音组为例可划分为四种类型：
（一）汉森理论中六音组的四种类型
第一种类型，两互补六音组音程分析式相同、结构相同，构成移位关系（transposition），在五度循环圈中可以通过旋转重叠。如六音组C2D2E3G2A2B（pc6-32）与互补六音组F2bE2D3bB2bA2bG的结构相同，音程列均为2，2，3，2，2，音程分析式都是p5m2n3s4d，互补六音组比原六音组高或低一个三全音。如下图所示：
图1移位相等的互补六音组
这种类型的六音组共有7种（不计移位、对合），包括6-1，6-7，6-8，6-14，6-20，6-32和6-35。
第二种类型，两互补六音组音程分析式相同，原六音组不是同构对合结构，在结构上，两互补六音组呈镜像对置，构成对合关系（involution）。如六音组C2D2E3G1#G3B（6-31）与互补六音组F2bE2bD3bB1A3bG是逆行结构关系，音程列分别为2，2，3，1，3和3，1，3，2，2，音程分析式都是p3m4n3s2d2t。两音组如下图实线图形与虚线图形：
图2对合相等的互补六音组
这种类型的六音组共有13种，包括6-2，6-5，6-9，6-15，6-16，6-18，6-21，6-22，6-27，6-30，6-31，6-33和6-34。
第三种类型，两互补六音组除具有相同的音程分析式外在结构上没有关联，且都不是同构对合结构，被称为同质异构非孪生关系（isomeric bear no similarity）。如六音组C1bD3E1F2G1bA（6-Z19）与互补六音组B1bB1A3#F3bE1D（6-Z44）的音程分析式均为p3m4n3sd3t，但音程列分别为1，3，1，2，1和1，1，3，3，1，无关联。
图3同质异构非孪生的互补六音组
这种类型的六音组共8对，包括6-Z3/36，6-Z10/39，6-Z11/40，6-Z12/41，6-Z17/43，6-Z19/44，6-Z24/46和6-Z25/47。
第四种类型，两互补音组均为同构对合结构，具有相同的音程分析式，结构不同，但在内容上具有异构重组的关系，即两音组是按照两种音程的不同映射方式结合所获得的，这样的两互补六音组被称为同质异构的孪生关系（isomeric twins）。如小三度与纯五度同时映射，即以C音为起始音按照五度音程向上构成三次（p3），再以C音为起始音按照小三度音程向上构成三次（n3），两者叠加[p3+n3=（C-G-D-A）+（C-bE-bG-A）]构成六音组C2D1bE3bG1G2A（6-Z29）；互补音组则是以C音开始按照小三度向上构成两次（n2），再在其上方纯五度G音开始同样向上按照小三度构成两次，两者叠加（n2@p=C3bE3bG+G3bB3bD）构成B1bB2bA3F1E3#C（6-Z50）。两互补音组均由两种音程映射构成，只是构成方式不同，音程分析式均为p3m2n4s2d2t2，也即均包含3个纯五度、2个大三度、4个小三度、2个大二度、2个小二度和4个三全音。从音程列来看，两者分别为2，1，3，1，2（3）和1，2，3，1，3（2），都是同构对合结构，但没有结构上的关联。
图4同质异构孪生的互补六音组
这种类型的六音组有7对，包括6-Z4/37，6-Z6/38，6-Z13/42，6-Z23/45，6-Z26/48，6-Z28/49和6-Z29/50⑥[3]。
（二）汉森理论中互补六音组间的关系
以上四种类型的共同特点是两互补六音组音程分析式都是相同的。从结构上看，这四种类型可以分为两大类，即在结构上有关联的前两种类型为第一类，这类六音组的互补六音组都可通过移位或对合获得与原六音组相同的音组；在结构上没有关联的后两种类型为第二类，这类六音组的互补六音组都是原六音组的同质异构音组。
在第一类中，除集合6-14外的19个六音组与其互补音组组成的十二音音阶都具有对称性，即原六音组上行排列与下行排列的互补六音组可构成对称关系，这一现象在汉森的《音高材料》附录中有解释。另外，其中的映射关系更值得思考，简而言之，在这样的音阶中任何2-6个连续的一系列音都会从其映射的10、9、8、7和6音音组中找到。以六音组C2D2E3G2A2B（pc6-32，第一种类型）为例，不只是他的互补六音组F2¨E2¨D3¨B2¨A2¨G/#F2#G2#A2#C2#D2#E逻辑映射于该六音组，而且两六音组组成的十二音音阶中的前10个音来源于前2个音的映射，前9个音来源于前3个音的映射，前8个音来源于前4个音的映射，前7个音来源于前5个音的映射。如图：
谱例2十二音中的映射关系
在上图中，十音组C2D2E3G2A2B+#F2#G2#A2#C=C1#C1D2E2#F1G1#G1A1#A1B是二音组C2D的映射十音组（即C2D2E2#F2#G2#A+G2A2B2#C）；九音组C2D2E3G2A2B+#F2#G2#A=C2D2E2#F1G1#G1A1#A1B是三音组C2D2E的映射九音组（即C2D2E+D2E2#F+E2#F2#G+#F2#G2#A+G2A2B）；八音组C2D2E3G2A2B+#F2#G=C2D2E2#F1G1#G1A2B是四音组C2D2E3G的映射八音组（即C2D2E3G+D2E2#F3A+E2#F2#G3B）；七音组C2D2E3G2A2B+#F=C2D2E2#F1G2A2B是五音组C2D2E3G2A的映射七音组（即C2D2E3G2A+D2E2#F3A2B）。并且，在前六音组中无论六个音如何排列，如果后六音组与之构成对应顺序排列，以上的关系仍然成立。
上文提到的六音组pc6-14是个特殊六音组，互补音组是其相隔三全音的移位关系音组，两互补音组不能构成上述的对称和映射关系。
在第二类中，第三种类型和第四种类型的六音组也不能够按照这样的方式进行排列，其中第四种类型的7对同质异构孪生关系六音组已经在前面简单阐述过，两者的异构重组关系的特点十分明确。
第三种类型的8对同质异构非孪生关系六音组不同于第四种类型，他们来源于含有三种音程的三音组同外来音程的映射，如由大三度、小三度和纯五度音程构成的大三和弦pmn在这三种音程之外的小二度音程d上映射（pmn@d）构成C4E3G+¨D4F3¨A=C1¨D3E1F2G1¨A（6-Z19），音程分析式为p3m4n3sd3t，其互补六音组为D1¨E3¨G3A1¨B1B（6-Z44），他是以¨B音为轴向上下两个方向做大三度m和小二度d的对合映射及下方纯五度p的单向映射获得的（¨B， m2n2p，即bG-bB-D+A-bB-B+bB-bE），或者以bG为轴向上下两个方向做大三度m和小三度n的对合映射及下方纯五度p的单向映射（bG， m2d2p，即D-bG-bB+bE-bG-A+B-bG），这两种构成方式都在汉森理论第六部分有详细的讲解⑦＼[4＼]，原六音组也可按照这种构成法获得。
其余7对同质异构非孪生关系六音组的构成方式分别为p2m2n3s3d4t：pns@d（6-Z3）/s2d2p（）（6-Z36）；p2m3n3s3d3t：nsd@m（6-Z10）/n2d2m（）（6-Z39）；p3m2n3s3d3t：p2s2d2+p（6-Z11）/p2s2d2+d（6-Z40）；p3m2n2s3d3t2：pdt@s（6-Z41）/n2s2m（）（6-Z12）；p3m3n2s2d3t2：pdt@m（6-Z43）/m2n2s（）（6-Z17）；p3m3n3s3d2t ：pns@m（6-Z46）/p2n2m（）（6-Z24）；p4m2n3s3d2t：nsd@p（6-Z25）/n2s2p（）（6-Z47）。
从上述角度来看，这8对同质异构非孪生关系六音组中，无论从结构、内容还是构成式方面观察每对六音组的关系，都看不出有何种关联之处，但如果结合其他音组来观察会发现其他的关系，如下文。
（三）同质异构四音组及映射八音组间的包含关系
音组组合中仅有的1对同质异构四音组是音程分析式为pmnsdt 的C1#C3E2#F（4-Z15）和C1#C2#D4G（4-Z29），这两个音组很有特点，各种音程都只有一个，也是四音组中包含所有音程的唯一一对音组，但两者结构不同，音程列分别为1-3-2和1-2-4。其映射八音组是音程分析式为p5m5n5s5d5t3的C1#C1D1#D1E2#F2#G1A（8-Z15）和C1#C1D1#D2#E1#F1G2A（8-Z29），音程列分别为1-1-1-1-2-2-1和1-1-1-2-1-1-2。在同质异构四音组和对应的映射八音组之间存在着包含关系，即C1#C3E2#FC1#C1D1#D1E2#F2#G1A，或4-Z158-Z15；C1#C2#D4GC1#C1D1#D2#E1#F1G2A，或4-Z298-Z29。在音级集合《原型与向量》表中，上述四音组和八音组均为其原型，可直接看出两者的包含关系。
（四）同质异构五音组及映射七音组间的包含关系
同质异构五音组共有3对，与其映射的七音组分别是：
1.p2mn2s2d2t：C1bD2bE2F1bG（5-Z12）和C1#C1D2E3G（5-Z36），映射七音组p4m3n4s4d4t2：C1#C1D1#D1E3G2A（7-Z12）和C1bD1D1bE 2F1bG2bA（7-Z36））；
2.p2m3n2sd2：C1bD2bE1E4bA（5-Z17）和C3bE1E1F3bA（5-Z37），映射七音组p4m5n4s3d4t：C1#C1D2E1F1#F3A（p2m27-Z17）和C1bD2bE1E1F2G1bA（7-Z37）；
3.p2m2n2sd2t：C1#C3E1F2G（5-Z18）和C1bD1D3F3bA（5-Z38），映射七音组p4m4n4s3d4t2：C1bD1D1bE2F3bA1A（7-Z18）和C1#C1D2E1F2G1bA（7-Z38）；
以上同质异构五音组和对应的映射七音组均为音级集合理论中的原型，其中除5-Z377-Z37外，其他对应音组从音级上看都不存在包含关系。但从音程列可看出两者的隐性包含关系，如果某音组中的相邻音程相加可得到另一个音组的音程列，那么两者即可构成包含关系。如5-Z17的音程列为1-2-1-4（4），7-Z17的音程列1-1-2-1-1-3（3）通过移位得1-2-1-1-3-3（1），该音程列通过相邻音程相加得到1-2-1-（1+3）-（3+1）=1-2-1-4（4），与对应的五音组音程列一致，证明两者具有包含关系。这种具有隐性包含关系的五音组与七音组还有5-Z187-Z18、5-Z367-Z36和5-Z387-Z38，只有5-Z12与7-Z12既不存在音级上的包含关系也不存在隐性的音程列包含关系。
三、同质异构音组的对斜包含关系
汉森理论十分重视不同基数音组间的包含关系，在《音高材料》第六部分讲到一组特殊音组，即第一对同质异构五音组不是其映射互补音组的一部分，反而是其孪生音组的互补音组的一部分，也即原五音组C2D2E1F6B（5-Z12，非原型⑧）是同质异构音组的映射音组C1#C1D2E1F2G4B（7-Z36）的一部分，同质异构音组C1#C1D2E3G（5-Z36）是原五音组的映射七音组C1#C1D1+#D1E3G2A（7-Z12）的一部分，两五音组和七音组间有两个同质异构六音组充当连接六音组，其中原六音组（1）p2m2n3s3d4t：C1#C1D2E1F6B（6-Z3）和（2）p4m2n3s3d2t：C2D2E1F2G4B（6-Z25）包含5-Z12且包含于7-Z36；两同质异构六音组（1）p2m2n3s3d4t：C1#C1D1#D1E3G（6-Z36）和（2）p4m2n3s3d2t：C1#C1D2E3G2A（6-Z47）对应地包含5-Z36且包含于7-Z12，如谱例3。
谱例35-Z12/36、7-Z12/36及连接六音组
这一逻辑关系可从音级集合复合型理论K关系得到解释。在《无调性音乐的结构》＼[5＼]一书中，集合复合型理论是建立在包含关系同补关系的自然联系基础之上的，设基数在2-10之间不相等的两个集合为 S和T，如果S为T的子集，当且仅当T的补集（）是S的补集（）的子集时，那么这两个集合为K关系。上述音组中，首先，5/7-Z12与6-Z3/36计算得出两者具有K关系，5/7-Z36与6-Z3/36经过计算也具有K关系，且5/7-Z12与5/7-Z36是Z关系对。从这些关联可以导出如下关系：如果5-Z12是6-Z3的子集，那么6-Z3的补集6-Z36一定是7-Z12的子集；同时，5-Z12的Z关系对5-Z36又是6-Z36的子集，那么6-Z36的补集6-Z3一定是7-Z36的子集。因此，5-Z126-Z37-Z36，5-Z366-Z367-Z12。
同理，5/7-Z12与6-Z25/47具有K关系，5/7-Z36与6-Z25/47也具有K关系，通过推导得出5-Z126-Z257-Z36，5-Z366-Z477-Z12，其中Z3/36和6-Z25/47为连接六音组。
这种对斜包含关系涉及到同质异构关系、补关系和包含关系，较K关系更为复杂。同质异构五、七音组的连接六音组极为有限，该组的连接六音组只有这两对同质异构六音组对斜连接。
除此之外，《音高材料》中没有再继续讨论其余的同质异构音组关系。经过计算验证，除上述第一对之外的两对同质异构五音组也具有同样的对斜包含关系：
第二对同质异构五音组p2m3n2sd2：C1bD2bE1E4bA（5-Z17）和C3bE1E1F3bA（5-Z37）与映射七音组p4m5n4s3d4t：C3bE1E1F2G1bA1A（7-Z17）和C1bD2bE1E4bA1A2B（7-Z37）的连接六音组为p3m4n3sd3t：C1bD2bE1E4bA1A（6-Z19）和其同质异构六音组C3bE1E3G1bA1A（6-Z44），如谱例4：
谱例45-Z17/37；7-Z17/37
用音级集合理论符号表示为5-Z176-Z197-Z37，5-Z376-Z447-Z17，连接六音组仅有一对同质异构六音组6-Z19/44。
第三对同质异构五音组p2m2n2sd2t：C1#C3E1F2G（5-Z18）和C1#C1D3F3#G（5-Z38）与映射七音组p4m4n4s3d4t2：C1#C1D1#D2F3#G1A（7-Z18）和C1#C1D2E1F2G1#G（7-Z38）的连接六音组有两组，一组为6-Z11和6-Z40；另一组是6-Z19和6-Z44，后者与第二对同质异构五音组/七音组的连接六音组相同，如谱例5：
谱例55-Z18/38；7-Z18/38
用音级集合理论符合号表示为（1）5-Z186-Z117-Z38，5-Z386-Z407-Z18；（2）5-Z186-Z197-Z38，5-Z386-Z447-Z18。该同质异构五音组和七音组也只有这两组连接六音组，6-Z11/40和6-Z19/44。
同质异构四音组也具有上述关系，但他所属范围更广，首先可联系音级集合复合型理论的Kh关系＼[2＼]115进行理解。设基数在2-10之间不相等的两个集合为S和T，如果S为T和的子集，当且仅当和T均为的子集，那么这两个集合为Kh关系。从《无调性音乐的结构》附录3的《子复合型Kh》关系表＼[2＼]234中可以查出同质异构五、六音组中只有上述第一对同质异构五音组中的5/7-Z36与6-Z11/40具有Kh关系，这说明5-Z366-Z11&5-Z366-Z40，且6-Z117-Z36&6-Z407-Z36，与同质异构音组5/7-Z12无关。此外，观察到同质异构四音组4-Z15和4-Z29同时与以下六音组具有Kh关系：6-5、6-9、6-Z12/41、6-16、6-Z17/43、6-18、6-21、6-22、6-27、6-30、6-34，共11对。这说明11对六音组包含4-Z15和4-Z29，且包含于8-Z15和8-Z29，三者之间的关系极为密切。如果只考虑同质异构音组之间的关系的话，同质异构六音组6-Z12/41和6-Z17/43与同质异构四音组4-Z15和4-Z29既具有包含关系，也具有对斜包含关系。
其次，按照同质异构五音组的算法可算得7对同质异构六音组与这对同质异构四音组构成对斜包含关系，分别是：6-Z3/36、6-Z4/37、6-Z6/38、6-Z11/40、6-Z19/44、6-Z25/47、6-Z26/48。
综上，如果扩大汉森对连接六音组的概念的话，连接六音组可连接四音组和八音组、三音组和九音组，甚至二音组和十音组，那么上述涉及包含以及对斜包含关系的六音组均可称为连接六音组，作为对称轴将互补音组连结起来。
结语
汉森对六音组的分类为研究同质异构六音组提供了前提。其中，对7对同质异构孪生音组间异构重组关系的探索为创作提供了可以参考的材料组合方式。更为重要的是，汉森将连接六音组作为对称轴将基数小于6和大于6的音组连结起来，尤其对于对斜包含关系的探索为继续研究起到了引导作用。
在《音高材料》中，汉森指出5-Z12/36与互补音组7-Z12/36是一组特殊音组，笔者认为其主要原因在于，除了与互补音组基数相同的六音组外，5-Z12确实是222个音组组合中不能够成为其互补音组一部分（子集）的唯一一个音组，但对斜包含关系并非仅此一对。也就是说，除六音组以外的所有同质异构音组与互补音组间都可以通过与之对应的同质异构六音组或非同质异构六音组建立对斜包含关系。这种将包含关系、同质异构关系同互补关系结合构成的对斜包含关系似乎为创作提供了一条获得统一和凝聚力的纽带，这也解答了乔治·波尔在《音级集合分析：一种价值评判》一文中对音级集合理论Z关系对实用性的疑问：“两个Z关系集合之间真有某种特殊的亲密关系？”[6]是的，用音级集合理论的术语来说，两个音程涵量相同但结构毫无关系的pc集合听起来也许没有直接关系，但具有以上这种间接关系，似乎可以通过曲径来获得两者的关联，建立更为复杂且富有逻辑的音乐组织结构，形成更加严密的音乐语言。
注释：
①笔者将著作中“harmonic materials”翻译为“音高材料”，包括音与音组合的纵横两方面的关系。
②映射是指以某音开始按照某种逻辑（音程关系）始终如一地叠加或重复构成音阶或和弦结构的方式。映射包括单向映射、双向映射、单音程映射以及多音程映射等方式。映射是汉森理论最为重要的音组构成方法。
③六音组，即六个音为一组的“集合”单位。
④在汉森理论中，pmn指该音组含有有1个纯五度，1个大三度和1个小三度音程；p7m7n7s6d6t3。含有7个纯五度，7个大三度，7个小三度，6个大二度，6个小二度和6个三全音。
⑤大三和弦的映射音组不同于大三和弦映射，前者是九和弦，后者是第二部分中大三和弦继续映射而获得的音组。
⑥参考文献[1]，Part III， Six-tone scales formed by the simultaneous projection of two intervals，p195-222。
⑦参考文献[1]，Part VI， Projection by involution with complementary sonorities，p314-330。
⑧在汉森理论中，音组是通过映射的方法计算获得的，其获得方式决定了音组的排列顺序，因此，不存在原型与非原型的问题，在这里，不能用原型来说明问题，以下同。
[参考文献]
[1]Howard Hanson：Harmonic Materials of Modern Music—Resources of the Tempered Scale，[M].New York：Appleton Century Crofts，1960：195-330.
[2]同[1]，269.
[3]同[1].
[4]同[1].
[5][美]艾伦·福特著，罗忠镕译.无调性音乐的结构[M].上海：上海音乐出版社，2009：111-114
[6]Perle George，Pitch-Class Set Analysis： an Evaluation，[J].The Journal of Musicology， 1990（8）：167.