一例释三疑

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提问：我知道可以用导数的正负来判断函数的单调性，可老师却说，“导数正，函数增；函数增，导数却未必正”，难道增函数的导数值还会是负的吗？

回答：“未必正”不是指“可以为负”，而是“可能为”． 以函数ｆ（ｘ）＝x3为例，如图1所示，它在R上单调递增，但ｆ′（ｘ）＝3x2≥0，且仅在原点处有ｆ′（0）=0．

这是不是意味着“若ｆ′（ｘ）≥0恒成立，ｆ（ｘ）就是增函数”呢？不是. 比如分段函数ｆ（ｘ）=-x2（x

因此，函数ｆ（ｘ）为增函数的充要条件是：ｆ′（ｘ）≥0且导数零点对应的点是函数图象中不连续的点．

由此可见，判断函数单调性的比较安全可靠的做法是：先求导，再对导函数的零点进行检验，如果这些点连续，那函数就不具有单调性．

提问：我们经常利用导数求切线的斜率，但有时求出的切线居然会和函数图象相交，难道说切线与函数图象的公共点可以不止有一个吗？

回答：没错，这样的例子其实有很多．我们仍然以函数ｆ（ｘ）=x3为例，如图2所示，函数在点P（-1，-1）处的切线是ｌ：ｙ＝3ｘ+2，直线l与点P附近的曲线“相切”，却与ｆ（ｘ）的图象交于点Q（2，8）．为什么会出现这样的“怪”现象呢？原因在于，“切线”的概念是由“割线”的两个公共点无限趋近后演变而来的，关注的是切线与切点周围一个很小区域内的曲线“相切”，但不排除切线与曲线其他部分相交的可能性. 由此，我们就可以理解ｙ＝ｘ3在点O（0，0）处的切线是ｙ＝0（即ｘ轴）这件事了． 这条直线似乎更加没有“切线”的“韵味”，但如果把函数的图象以x轴为界分开观察（如图3所示），就可知ｙ＝0既与图象左侧相切，也与图象右侧相切，只不过这两条切线恰好重合而已．

提问：我知道极值点处导数为0，但有时候导数零点却不是极值点，这是为什么呢？

回答：因为“导数为0”只不过是“函数有极值”的必要不充分条件．

我们还是以函数ｆ（ｘ）=x3为例. ｆ′（ｘ）=3x2≥0，令ｆ′（ｘ）=0可得x=0． 但从单调性来看，函数在x=0的两侧均单调递增，所以ｘ＝0不是极值点．因此，在求得导数零点后，我们还必须根据函数的单调性进行判断，只有当该点左右两侧的单调性相异时，该点才是极值点． 看来，教材中要求我们在分析函数的极值点时列出表格并非多余之举，而是很有必要的．

本期答疑人：义乌中学王芳释疑邮箱：tzcdm@qq．com