对“再谈f(x)=3cosx+2sinx最小值的初等求法”的商榷

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某刊中给出了“贴近学生实际的求f(x)=3cosx+2sinx(0

先看原文给出的解法（限于篇幅，已作简化）：

f(x)=3cosx+2sinx=(3cosx+2sinx)(cos2x+sin2x)=3cosx+2sinx+3sin2xcosx+2cos2xsinx≥3cosx+2sinx+26sinxcosx=(3cosx+2sinx)2，当且仅当3sin2xcosx=3cos2xsinx

时取等号.此时cosx=

313(313+213)12,sinx=213(313+213)12,代入(3cosx+2sinx)2中得

(323+223）32，即f(x)min=(323+223)32.

此解法粗看起来，天衣无缝，而且答案也是对的，但答案对不等于解法就没问题．为了看清其中存在的问题，先看以下一题的解法：求f(x)=x+1x2(x>0)的最小值．

解f(x)=x+1x2≥2x・1x2=2x，当且仅当x=1x2时取等号，此时x=1，代入2x中得2，所以f(x)min=f(1)=2．

此题的错误之处是很明显的.我们知道，用均值不等式求最值要符合“一正、二定、三相等”的原则，明显此题解法中违背了“二定”的原则，把2x当成了f(x)的最小值，即把变量当常量．此题的正确解法是：f(x)=x+1x2=x2+x2+1x2≥33x2・x2・1x2=3232，当且仅当x2=1x2，即x=32时取等号．

回头再审视原文的解法，可以发现犯了同样的错误，把(3cosx+2sinx)2当成了定值．同理原文中对结论（2）的证明也存在同样的问题．反思错误产生的原因，其一，是解法繁琐，错误不易察觉；其二，碰巧答案对了，放松了警惕．

以下给出一种更贴近学生实际的初等解法：

［f(x)］２=(3cosx+2sinx)2=9cos2x+4sin2x+12sinxcosx=

9(sin2x+cos2x)cos2x+4(sin2x+cos2x)sin2x+12(sin2x+cos2x)sinxcosx=13+9sin2xcos2x+4cos2xsin2x+12sinxcosx+12cosxsinx=13+(9sin2xcos2x+6cosxsinx+6cosxsinx)+(4cos2xsin2x+6sinxcosx+6sinxcosx)≥13+33(9sin2xcos2x・6cosxsinx・6cosxsinx)+33(4cos2xsin2x・6sinxcosx・6sinxcosx)=13+9312+6

318=(323+223)3,所以f(x)≥(323+223)3.当且仅当

9sin2xcos2x=6cosxsinx,

4cos2xsin2x=6sinxcosx,即tanx=323时，f(x)min=(323+223)32.

实际上，令x=θ，函数f(x)=3cosx+2sinx等同于函数f(θ)=3cosθ+2sinθ，则其几何意义也很明显．如图1，设过点P(3,2)的直线l与x正半轴、y正半轴分别交

于A、B，令∠PAO=θ，则|AB|=|PB|+|AP|=3cosθ+2sinθ，即f(θ)为线段AB的长.以下再用两种初等常规方法求|AB|的最小值．

方法一设A(a,0),B(0,b)，则l∶xa+yb=1，代入点P(3,2)得3a+2b=1，所以|AB|=a2+b2=(a2+b2)(3a+2b)2=9+

12ab+4a2b2+9b2a2+12ba+4=13+(9b2a2+6ab+6ab)+(

4a2b2+6ba+6ba)≥

13+339b2a2+6ab+6ab+334a2b2+6ba+6ba=13+9312+6318=(323+223)32.当且仅当

3a+2b=1,

9b2a2=9ab,

4a2b2=6ba,

即a=313(313+213)12,

b=213(313+213)12时，|AB|取得最小值

(323+223)32．

方法二设l∶y-2=-k(x-3)(k>0)，则A(3+k2，0),B(0,2+3k),所以|AB|=(3+k2)2+(2+3k)2=13+(9k2+6k+6k)+(4k2+6k+6k)≥

13+339k2・6k・6k+334k2・6k・6k=13+9312+6318=(323+223)32.

当且仅当9k2=6k,

4k2=6k,即k=(23)13时，|AB|取得最小值(323+223)32.