半群中的格林关系的粗糙性质

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摘要: 在粗糙集理论的基础上,将格林等价关系引入到粗糙集中，并与半群中的理想相联系,利用格林关系的一些基本性质,讨论半群中格林等价关系的粗糙性质,并给出这些结论的证明,进一步补充和完善了半群中的粗糙集理论.

关键词: 粗糙集;半群;理想;格林等价关系

中图分类号:O152.7

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)06-0466-03

The Rough Properties of Green′s Equivalences in Semigroups

XIE Litao1,ZHANG Zhenliang2

(1. School of Mathematics and Computer Science, Yunnan University of Nationalities, Kunming 650031, China； 2. Faculty of Science, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093, China)

Abstract: Based on the theory of rough sets, Green′s equivalences are put into rough sets and connected with the ideals of semigroups. In the use of some basic properties of Green′s relations, some rough properties of Green′s equivalences are discussed and the conclusions are reached, which helps improve the rough sets theory in semigroups.

Key words: rough sets; semigroups; ideals; Green′s equivalence

1982年波兰数学家提出了粗糙集［1］的概念.粗糙集作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论,是继概率论、模糊集、证据理论之后的又一次处理不确定性的数学工具,是一种较新的软计算方法和数据分析方法,是建立在分类机制的基础上的,首先联系到集合的分类,与等价关系相联系,而理想又自然引导出半群中的等价关系,这些等价关系被Green研究，在半群理论的发展中起着非常重要的作用.其中格林等价关系在正则半群的研究中起着至关重要的作用.本文在半群中研究粗糙集,讨论了半群中的格林等价关系的粗糙性质,进一步补充和完善了半群中的粗糙集理论.

1 半群上的粗集

定义1.1［2］ 设S是一个半群,如果ρ是满足以下条件的S上的一个等价关系:对x∈S有(a,b)∈ρ(ax,bx)∈ρ,(xa,xb)∈ρ,则称ρ是S上的同余关系,

以［a］ρ记a所在的同余类.

定义1.2［2］ 设A是S的任一子集,则A的ρ下近似和ρ上近似分别表示为:

ρ(A)={x∈S［x］ρA}=∪{［x］ρ［x］ρA},

ρ(A)={x∈S［x］ρ∩A≠}=∪{［x］ρ［x］ρ∩A≠},

ρ(A)=(ρ(A),ρ(A))称为ρ粗糙集.

引理1.1［2］ 设ρ,λ是半群S上的同余关系,A,BS,则

1)ρ(A)Aρ(A),ρ(S)=S=ρ(S);

2) ρ(A∪B)=ρ(A)∪ρ(B),ρ(A∩B)=ρ(A)∩ρ(B);

3) ABρ(A)ρ(B),ρ(A)ρ(B);

4) ρ(A∪B)ρ(A)∪ρ(B), ρ(A∩B)ρ(A)∩ρ(B);

5) ρλρ(A)λ(A),ρ(A)λ(A).

定理1.1［2］ 设ρ是半群S上的同余关系,A,B是S的非空子集,则ρ(A)ρ(B)ρ(AB).

定理1.2［2］ 设ρ是半群S上的完备同余关系,A,B是S的非空子集,则ρ(A)ρ(B)ρ(AB).

引理1.2［3］ 设ρ和λ是半群S上的完备同余关系,则ρ∩λ也是半群S上的完备同余关系.

定理1.3［2］ 设ρ和λ是半群S上的同余关系,A是S的子集,则[KG*2]ρ∩λ(A)ρ(A)∩λ(A).

定理1.4 设ρ和λ是半群S上的完备同余关系,A是S的子集,则ρ(A)∩λ(A)ρ∩λ(A).

证明 由引理1.2知: ρ∩λ也是半群S上的完备同余关系. c∈ρ(A)∩λ(A)c∈ρ(A)且c∈λ(A)CρA且CλA Cρ∩λA c∈ρ∩λ(A) ρ(A)∩λ(A)ρ∩λ(A).

引理1.3［1］ 设ρ,λ是半群S上的完备同余关系,则复合关系ρλ是S上的完备同余关系的充要条件是ρλ=λρ.

定理1.5［2］ 设ρ,λ是半群S上的同余关系,且ρλ=λρ,如果A是S的子半群,则ρ(A)λ(A)ρλ(A).

2 半群在格林关系下的粗糙性质

引理2.1［4］ 令S1=S∪I, 1 是单位元或幺元(Unit Element) ,它可以含于S, 也可以不含于S,1s={(x,x):x∈S}, R∧=∪∞n=1(R∪R-1∪1s)n是关系R的传递闭包(Transitive Closure), Rc={(xay,xby):x,y∈S1},

Rb={(a,b):x,y∈S1,(xay,xby)∈R}, 则R#=(Rc)∧是含R的最小同余关系(RR# ).特别地, 如果R是等价关系, 则R#=Rc,Rb是含于R 的最大同余关系(RbR).

可以得到, ρ,σ，ρ∨σ=∪∞n=1(ρσ)n 是含ρ、σ的最小同余关系, 若ρσ=σρ ,则ρ∨σ=ρ°σ.根据上面类似的方法,可由一个或多个关系(等价关系) 出发,生成一个含于(或包含)它们的最大(或最小)的同余关系.

S是半群,若a∈S,则包含a的最大左理想是Sa∪a,方便地写成S1a,称为由a生成的S的左理想.同样可定义由a生成的S的右(双侧，双)理想.S上的等价关系L被定义为(a,b)∈LS1a=S1b，换句话说,就是(a,b)∈L,当且仅当a,b生成相同的左理想.同样(a,b)∈RaS1=bS1,(a,b)∈JS1aS1=S1bS1，(a,b)∈B aS1a∪{a}=bS1b∪{b}. H=L∩R,H是含于L和R的最大同余关系.D=L°R=R°L,LJ,RJ,因此D是包含L和R的最小同余关系，DJ.上述的等价关系L,R,J,B,D和H称为格林等价关系.

引理2.2［5］ a,b∈S,若aLb,当且仅当存在x,y∈S1，使得xa=b,yb=a.同样aRb,当且仅当存在u,v∈S1，使得au=b,bv=a.aJb当且仅当存在x,y,u,v∈S1，使得xay=b,ubv=a.

定理2.1 设A是半群S的非空子集,则1)L(A)SA∪A；2) R(A)AS∪A；3)J(A)SAS∪AS∪SA∪A；4) J(A)SAS∪AS∪SA∪A.

证明 x∈L(A) ［x］L∩A≠ y∈［x］L∩Ay∈［x］L且y∈A(y,x)∈L x∈Sx∪x x∈Sx∪x SA∪A L(A)SA∪A.同理可证2),3),4).

定理2.2 设A是半群S的非空子集，

1) 若A是半群S的左理想，则L(A)=A=L(A)=SA∪A;

2) 若A是半群S的右理想，则R(A)=A=R(A)=AS∪A;

3) 若A是半群S的双侧理想，则R(A)=A=R(A)=AS∪A;

4) 若A是半群S的双理想，则B(A)=A=B(A)=ASA∪A2∪A.

证明 A是半群S的左理想, B(A)=A=B(A)=ASA∪A2∪A是包含A的最小左理想 A=SA∪A A=L(A)=SA∪A;又L(A)=L(L(A))=L(A)=A A=L(A)=SA∪A.同理可证2),3),4).

定理2.3 若A为半群S上的左理想, 则L(A)L(B)=L(AB).

证明 x∈L(AB) ［x］L∩AB≠ y∈［x］L∩ABy∈［x］L且y∈ABa∈A,b∈B,st y=ab∈［x］L x∈Sx∪{x}=Sab∪{ab}.

假若x∈{ab},即x=ab a∈［a］L∩A, b∈［b］L∩Ba∈ L(A),b∈ L(B) x=ab∈L(A)L(B).

假若 x∈Sabs∈S,st x=sab;A是左理想sa∈A sa∈saL∩Asa∈L(A)x=sab∈L(A)L(B).

综上所述，有x∈L(A)L(B), 即L(AB)L(A)L(B),

又由定理1.1 类似可得L(A)L(B)L(AB)， 所以L(A)L(B)=L(AB).

定理2.4 若A为半群S上的右理想,则R(A)R(B)=R(AB).

证明过程,类似定理2.3证明,证略.

定理2.5 设A是半群S的非空子集，若L(A)L(B)，则J(A)J(B).

证明 设x∈J(A)［x］J∩A≠y∈［x］J且y∈A(y,x)∈Ja,b∈S1，

st axb=y(y,xb)∈Ly∈［xb］L［xb］L∩A≠xb∈L(A),

又L(A)L(B)xb∈L(B)［xb］L∩B≠z∈［xb］L且z∈B(z,xb)∈Lc∈S1,

st cxb=z(z,x)∈Jz∈［x］J,又z∈B［x］J∩B≠x∈J(B)J(A)J(B).

定理2.6 设A是半群S的非空子集，若R(A)R(B),则J(A)J(B).

证明 类似定理2.5证明即可, 证略.

定理2.7 设A是半群S的非空子集,则

H(A)L(A)∩R(A)，L(A)∩R(A)H(A).

证明 H=L∩R H(A)=L∩R(A)L(A)∩R(A) (由定理1.3), L(A)∩R(A)L∩R(A)=H(A) (定理1.4).

定理2.8 设A是半群S的非空子集,则

L(A)R(A)D(A)J(A),R(A)L(A)D(A)J(A).

证明 由定理1.5 L(A)R(A)LR(A) L(A)R(A)D(A)(D=LR=RL);DJD(A)J(A)(引理1.1) L(A)R(A)D(A)J(A).

同理R(A)L(A)D(A)J(A).

参考文献:

［1］PAWLAK Z. Rough sets［J］.International Journal of Computer and Information Science,1982(11):341-356.

［2］张文修,吴伟志.粗糙集理论与方法［M］.北京:科学出版社, 2001.

［3］陈建飞,林公源.关于粗糙集的一点注记［J］.云南民族学院学报:自然科学版, 2002, 11 (2) : 65-67.

［4］HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory［M］.England:Oxford University Press,16-33;45-60.

［5］HOWIE J M.An introduction to semigroup theory［M］.New York: Academic Press, 1976.