话题式研学———一种行之有效的数学概念教学范式
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数学概念是建立在数学定理、法则、公式的基础上，是进行数学计算和推理论证的依据，是形成数学思想方法的出发点，也是学生进行数学思维活动的基本单位. 因此，概念教学在数学教学中有着极其重要的地位. 然而，反观当下的数学课堂，许多教师在教学中不注重概念的引入，对定义的表述一掠而过，试图以大容量的解题训练替代概念认知过程的现象比比皆是，导致学生只习得了一些具体解题技能，而对概念的理解非常肤浅，缺乏理性. 另外，由于新概念的引入并未建立在学生原有认知基础上，又没有大量实例揭示概念的本质特征，导致新概念不能较好地纳入到学生原有的认知结构中. 长此以往，学生对概念的本质属性理解缺失，知识结构零碎、松散，缺乏系统，难以做到举一反三、触类旁通，知识的迁移运用和有效整合成为一句空话，思维能力的培养大打折扣.
针对上述现状，为有效改善数学概念教学，笔者带领的团队将“微课题研学”模式引入数学概念教学之中. 于概念联系、概念辨析、概念拓展和概念运用中开展话题式研学活动，让学生在精准掌握概念的同时思维品质得到有效提升，概念教学取得了较明显的效果. 下面笔者以例行文，谈谈我们的做法和体会，与同行共同探讨.
一、 于概念联系中研学
学生有意义的学习不是一个被动接受知识、强化储存的过程，而是用原有的知识处理各项新的学习任务，通过同化和顺应等心理活动，不断地构建和完善认知结构的过程，把客观的数学知识内化为自己认知结构中的成分. 数学概念之间具有联系的广泛性和良好的系统性，在概念研学中突出概念间的联系正是顺应了学生的这一认知特点，有助于帮助学生将零散的数学概念通过内在联系形成有效的概念网络；而概念网络的形成不仅有助于新概念的有效内化，而且对于学生从整体上认识和把握数学概念也是十分有益的.
【研学案例1】函数概念研学
高中阶段用集合与对应语言表征函数的概念并引入了抽象符号f（x），完成了从“变量说”到“对应说”的嬗变，使之比初中“变量说”更具一般性，但两者的本质一致. 函数概念的核心——“对应关系”更是架构起两个非空数集间A，B元素联系的桥梁. 非空数集A，B及其对应关系是一个紧密联系着的整体，这个整体构成了函数的概念.
根据上述分析，确定函数概念研学重点为：让学生通过研究具体的函数实例，感受在两个数集A，B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念；比较函数概念“变量说”与“对应说”的异同，进一步体会“变量说”表征函数的优越性.
话题1：同学们在初中已学过“函数”，请你举几个函数的例子.
通过举例让学生回顾“变量说”. 教学中发现学生最容易举一次函数、二次函数和反比例函数的例子. 此时，教师追问：“函数关系都可以用解析式表示吗？”以此开阔学生思路.
话题2：教师举例.
（1）图1是某市一天24小时内的气温变化图. 这是一个函数吗？为什么？
在学生正确回答的基础上，请学生说明其自变量是什么？因变量又是什么？
（2）图2是某运动员在一次训练中射击序号与中靶环数的对应表. 环数是序号的函数吗？ 并说明理由.
在学生正确回答的基础上，进一步追问：如果第4次射击脱靶，还是函数吗？为什么？
话题3：前面我们学习了“集合”，你能用“集合”和对应的语言来刻画上述例子吗？
话题4：你能用“集合”和对应的语言给函数重新下一个定义吗？
话题5：比较函数概念“变量说”和“对应说”的异同，体会其本质的一致性（联系）和“对应说”的优越性.
话题6：引导学生有效甄别：（1） f（x）=3，x∈R和D（x）=1，x为有理数，0，x为无理数，都是函数吗？你的理由是什么？（2） f（x）=x， x∈｛0，1｝与g（x）=x2， x∈｛0，1｝是否为同一函数？
从某种意义上讲，学习概念的过程就是学习者建立概念间联系的过程. 数学中的任何一个概念，只有与其他概念相联系，才能生成和发展，才能有效纳入概念系统. 概念间的联系也包含着数学方法，它能使人高屋建瓴地理解数学. 概念研学中注重形成概念联系，利用丰富、牢固、准确的联系来促进学生对概念的理解和把握，这是概念教学的关键所在.
二、 于概念辨析中研学
学生理解概念定义的逻辑意义时常经历两个过程：一是知晓表达定义的语法与词义，二是把词义与认知结构中已知要领建立联系，把个别孤立的词义综合起来加以表征以获得概念的整体意义. 概念的关键特征越明显，学习越容易，而无关特征越多，则概念学习越难. 通过实例或观察材料形成概念的“毛坯”之后，接下来便是去粗存精、由表及里的思维加工阶段，其主要任务是通过抽象化、形式化来掌握概念的内涵，廓清概念的外延. 这是概念形成的思维活动过程的核心.
【研学案例2】周期函数概念研学
教材是在三角函数y=sinx，y=cosx的基础上引入周期函数的概念. 这种做法有助于学生从直观上建立周期函数的概念，但也容易使学生产生周期函数就是三角函数的错误结论，因此仅仅依靠定义难以保证学生真正掌握“周期函数”概念的本质属性. 在实施周期性概念研学时，笔者通过概念的肯定例证和否定例证让学生辨析，揭示概念的内涵与外延，促使学生认识深化.
在给出周期函数定义后，笔者设计系列话题让学生讨论研学.
话题1：函数f（x）=sinx，x∈［-2π，4π］是周期函数吗？为什么？
话题2：函数f（x）=c，x∈R（c为常数）是周期函数吗？为什么？
话题3：函数f（x）=［x］，x∈R是周期函数吗？如果是，它的最小正周期是多少？
话题4：函数f（x）=（x-2k）2，x∈［2k-1，2k+1］（k∈Z）是周期函数吗？你能从定义的角度加以说明吗？
话题5：函数f（x）=sinx，x∈R是周期函数吗？为什么？
概念的肯定例证提供了最有利于概括的关键特征，否定例证则提供了最有利于辨别的信息. 因此，概念研学时须提供一定数量的肯定例证与否定例证让学生辨析，从而有助于学生廓清概念的外延，把握概念的内涵，促进概念学习的活动思维深化.
三、于概念拓展中研学
概念拓展是指在已有概念的基础上，通过改变关键词等手段将概念进行同层级的适度迁移，衍生出新的概念. 其价值在于深化对已有概念的理解，使概念产生更多的信息，形成与已有概念相关的更丰富的链接，并形成更多与其他知识网络相联系的结点，形成在更多情况下问题激活概念连接网络的机制，有利于学生思维的发散，对学生创新能力的培养举足轻重.
【研学案例3】圆锥曲线概念拓展
高中教材中的圆锥曲线的概念从本质上来看就是从关键词的改变衍生出一系列概念（椭圆、双曲线、抛物线）. 因此，在完成圆锥曲线概念教学后，可引导学生再次拓展，还将会衍生出一系列相关概念. 笔者引导实验班学生开展了以下话题的研学.
话题1：教材中探讨了平面内到两个定点距离的和、差是定值的动点的轨迹，那么到两个定点距离的比值为定值的动点的轨迹怎么样？
学生研究发现当比值为1时轨迹是一条直线，即两定点连线段的垂直平分线；当比值不为1时轨迹是一个圆，即阿波罗尼斯圆.
话题2：到两个定点距离的积为定值的动点的轨迹又将怎样？这样的曲线有什么性质？
借助几何画板引导学生研究，发现到两定点的距离之积为定值的点的轨迹图象是“8字形”（图3）或“花生形”（图4）等形状的曲线.
话题3：我们已经学习了到一个定点和一条定直线的距离的比为定值的动点的轨迹问题，如果是“和”为定值呢？差或积是定值，情形又将如何？留给学生课后研究.
对部分智力优异的学生来说，现有教材中给出的探究问题的探索力度显然不够. 选择适合他们探究的问题，也是值得广大数学教师关注的事情. 相对于解决问题，恰当、适时地提出一个有探索价值的问题也许更加重要.
四、 于概念运用中研学
数学教学离不开解题教学. 能灵活运用概念解题是掌握概念的标志. 运用概念解题，一方面可以巩固并加深对概念本质的理解，另一方面可以帮助学生体会其中所蕴含的数学思想和方法，让学生从思想方法的高度感悟并掌握数学概念，有助于学生的思维走向深入.
【研学案例4】三角函数概念运用
话题1：通过前面的学习我们知道，三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现（图5）. x=cosα，y=sinα是单位圆的自然的动态（解析）描述（图6）. cosα，sinα的几何意义各是什么？（有向线段OM，MP的数量）
话题2：一半径为3m的水轮如图7所示，水轮圆心O距离水面2m. 已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时.
（1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？
话题3：如图8，摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？
话题4：如果话题3中在摩天轮的右侧距O点70m处有一堵墙，你能确定在时刻t（min）时点P与墙面间的距离吗？
好的数学问题对思维起着启动、定向和促进作用. 同时，数学思维是一个不断地提出问题、分析问题、转换问题，最终解决问题的过程，是一个运用各种思维方法进行探索的心智活动历程，其结果不仅达到对原问题的深刻理解，而且有助于学生掌握思维的方法，磨炼思维品质.
立足概念核心内容的理解，于概念联系、概念辨析、概念拓展和概念运用中开展一些适应学生内在需求、话题式的研学活动，让概念学习从表象走向本质，从抽象走向具体，从孤立走向系统，必将有助于学生把握概念的深层结构及其蕴含的数学思想方法，从而有效提升学生的思维品质，这既是素质教育的需要，也是基于能力立意的高考应试的需要，更是提高教师专业素养和学生创新能力的需要. ■