一道高考题的推广与引申

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2012年全国高考大纲卷理科第（8）题、文科第（10）题是：

设E、F是双曲线x2-y2=2的两个焦点，P是双曲线上的一点，若

|PE|=2|PF|，则cos∠EPF=（ ）

（A）14 （B） 35 （C）

34 （D） 12

该问题取材于圆锥曲线焦点三角形的边角关系，在解答过程中，应用到圆锥曲线定义、正余弦定理等知识，难易适中，设计新颖，别具一格.值得我们深入研究，若将其推广引申， 进行研究，则可得到.

定理1： 设E、F是椭圆

x2a2+

y2b2=1 （a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上的一点，若

|PE|=λ|PF|（λ>0），椭圆的离心率是e，

∠EPF=θ，则cosθ=

λ2+1-e2（λ+1）22λ.

证明：设|PF|=m，则|PE|=λm，由椭圆定义得

λm+m=2a，即m=2aλ+1.

又因为|EF|=2c，由余弦定理得

cosθ=

（λm）2+m2-4c22λm2

=

m2（λ2+1）-4c22λm2.

将m=2aλ+1代入上式得

cosθ=

a2（λ2+1）-c2（λ2+1）22λa2

=λ2+1-e2（λ+1）22λ.

定理2：设E、F是双曲线

x2a2-

y2b2=1 （a>0，b>0）的两个焦点，P是双曲线上一点，若

|PE|=λ|PF|（λ>1），双曲线离心率是

e，∠EPF=θ， 则

cosθ=λ2+1-e2（λ-1）22λ.

证明：设

|PF|=m，则

|PE|=λm，由双曲线定义得

λm-m=2a，即

m=

2a

λ-1.

又因为

|EF|=2c，由余弦定理得

cosθ=

（λm）2+m2-4c2

2λm2

=m2（λ2+1）-4c22λm2.

将m=2aλ-1代入上式得

cosθ=

a2（λ2+1）-c2（λ-1）2

2λa2

=λ2+1-e2（λ-1）2

2λ.

若将两条焦半径|PE|，|PF|之比改变为之积、之差（或和），进行研究，则得

定理3：设

E、F是椭圆

x2a2+

y2b2=1 （a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上的一点，若

|PE||PF|=λ2（λ>0），∠EPF=θ，则

cosθ2

=bλ.

证明：设

|PF|=m，则|PE|=n，mn=λ2

，由椭圆定义得

m+n=2a，而

|EF|=2c.

由余弦定理和椭圆定义得

cosθ=m2+n2-4c22mn

=（m+n）2-2mn-4c22λ2

=（2a）2-4c2-2λ22λ2

=2b2λ2

-1.

所以，

1+cosθ=

2b2λ

2cos2θ2

=2b2λ2



cosθ2

=bλ.

定理4：设

E、F是双曲线

x2a2

-y2b2=1 （a>0，b>0）的两个焦点，P是双曲线上的一点，若

|PE||PE|=

λ2（λ>0），∠

EPF=θ，则

sin

θ2

=bλ.

证明：设

|PF|=m，则

|PE|=n，mn=λ2，由双曲线定义得|m-n|=

2a，而

|EF|=2c.由余弦定理和双曲线定义得

cosθ=

m2+n2-4c22mn

=

（m-n）2+2mn-4c22λ2

=（2a）2-4c2+2λ22λ2

=1-2b2λ2.

所以，

1-cosθ=

2b2λ2

2sin2θ2

=2b2λ2



sinθ2

=bλ.

定理5：设

E（-c，0），F（c，0）是椭圆

x2a2+

y2b2=1 （a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上的一点，若

|PE|-|PF|=2d，

∠EPF=θ，则

cosθ=

b2-c2+d2

a2-d2.

证明：因为

|PE|

-|PF|

=2d，由椭圆定义得

|PE|+|PF|=2a，联立两式解得

|PE|

=a+d，|PF|

=a-d，

而

|EF|=2c，由余弦定理得

cosθ=

（a+d）2+（a-d）2-4c2

2（a+d）（a-d）

=

a2+d2-2c2

a2-d2

=b2-c2+d2

a2-d2

.

定理6：设

E（-c，0），F（c，0）是双曲线

x2

a2-

y2b2=1 （a>0，b>0）的两个焦点，P是双曲线上的一点，若

|PE|+|PF|

=2d，∠EPF=θ，则

cosθ=

d2-c2-b2

a2-d2.

证明：因为

|PE|+|PF|

=2d，由双曲线定义得

|PE|-|PF|

=±2a，联立两式解得

|PE|=d+a，|PF|

=d-a

或|PE|=d-a，|PF|=d+a，而

|EF|=2c

，由余弦定理得

cosθ=

（a+d）2+（a-d）2-4c2

2（a+d）（a-d）

=

a2+d2-2c2a2-d2

=d2-c2-b2

a2-d2

.

研究问题的目的之一是掌握新知识，解决新问题，也是创新的表现，下面我们看这几个结论的应用，限于篇幅，略举数例说明.

例1 （本文开头提出的问题）

解： 因为λ=

2，e=2，由定理2得

cosθ=

22+1-（2）2（2-1）22·2=

34.故选（C）.

例2 （笔者自编题）P是椭圆上一点，E、F是椭圆左右焦点，若

∠PEF=60°，

|PE|∶|PF|=2，求椭圆的离心率.

解：因为λ=2，θ=60°，由定理1得

cos60°=

22+1-e2（2+1）22·2

e=

33.

例3 （2010年高考全国卷Ⅰ理科第9题）设E、F是双曲线

x2-y2=1的左右焦点，P是双曲线上的一点，若

∠EPF=60°，则P点到x轴的距离是 （ ）

（A） 32

（B） 62

（C） 3

（D） 6

解：设

|PE||PF|

=λ2（λ>0），因为θ=60°，a=b=1，e=2，由定理4及双曲线焦半径公式得

sin60°2

=1λ

λ=2λ2=（ex+a）（ex-a）4=2x2-1x2=

52.

代入双曲线方程x2-y2=1解得|y|=

62.故选（B）.