做余弦运动物体下悬挂小球的运动分析

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摘 要：做余弦运动的物体，通过刚性杆与小球连接。分析小球运动方程，得到二阶微分方程并求解小球运动幅值，进而对运动幅值进行分析。关键词：余弦运动；小球；二阶微分方程；运动幅值

中图分类号：O411.1 文献标志码：A

1、模型分析

众所周知，二阶非齐次微分方程是常微分方程的重要内容，在纯粹数学、应用数学、工程技术、力学以及物理学等众多领域有着及其重要的位置[1-5]，因此本文举例进行了说明。

对于两个相连物体的运动来说，较为常见的是物体A的运动对物体B有影响，而物体B运动对物体A没有影响，那该问题可以简化为以下的物理模型。

在桌面上放置一物体A，其下悬挂一质量为m的小球B。当物体A在水平面上做微幅余弦运动时，对于小球B的运动，可由以下分析求得。物体A和小球B运动示意图见图1。

令物体A坐标为(x1，y1)，小球B的坐标(x2，y2)，物体A与小球B之间的连接杆为刚性杆，长L。杆与垂直方向的夹角为?琢。其中x1， y1，x2，y2和?琢都是时间t的函数。

物体A的运动方程为：

其中：b表示物体A的运动幅值，?棕表示频率；tm表示缓冲周期。

小球B的运动过程为：

对小球B进行受力分析，在水平方向有：

把x2代入上式可得：

同理，在垂直方向：

把y2代入上式可得：

由 化简可得：

当?琢较小时，可令 ， ，故（5）式可以变为

方程（6）就是在该模型下得到的小球B运动的二阶微分方程，方程（6）的解为

其中：

当t=0时，?琢=0，得到

当t=0时，?琢=0，得到 Ｂ＝０

2、算例分析

根据上述公式，可以对一些具体情况进行计算。计算条件见表1。

不同条件下，小球B的运动幅值见图2和图3。

由图2和图3可知，随着物体A运动周期的增加，小球B在水平方向和垂直方向都是先增大后减小，当周期较大时，小球B水平方向和垂直方向的幅值随周期增加变化不大。

对于两种杆长，都存在物体A的某一周期附近小球B的位移发生突变的情况，即在该周期附近，小球B的运动幅值很大。这表示小球运动周期与物体A的运动周期非常接近，发生了共振现象。下面对这一周期进行研究。在前面的公式推导中，系数C存在分母为0的情况，令分母为0可得：

即

当杆长分别为10m和20m时，周期T1分别为6.3s和9.0s。而图2和图3中正好显示在该周期情况下，小球的运动幅值均较大。

3、结论

1、对做余弦运动的物体下悬挂的小球进行理论分析，得到了小球运动方程的解析表达式。

2、通过算例分析发现，当物体A运动周期与某一周期接近时，小球的运动幅值较大。反之，小球运动幅值与物体A的周期关系很小。

3、在较多数的实际应用中，共振现象会造成物体运动过大，并产生破坏，通过本文研究，为避免共振现象的发生提供了一定的理论基础，比如吊车在海上作业时必须要避免共振现象的发生。

参考文献

[1] 丁同仁,李承治.常微分方程教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

[2] 韩中庚.数学建模方法及其应用[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005.

[3] 李尚志,陈发来,吴辉发等,数学实验[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999.

[4] 黄大琪.一阶与二阶微分方程在物理中的应用举例[J]. 芜湖联合大学学报, 1998, 2(1): 6～8.

[5] 同济大学数学教研室.高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.

作者简介：

潘静（1979-），女，辽宁铁岭人，渭南师范学院物理与电气工程学院讲师，硕士，研究方向：从事大学物理和电磁学教学理论和实验研究。